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Charges dans un champ magn´ etique, frottement sur plan inclin´ e
z B
O
y
x
Fig. 2.35 Choix des axes : z parall`ele au champ dâinduction uniforme B.
ment (2.51) implique que la vitesse |v| est constante (car dv 2 /dt = 2v ¡ vË = 0) et que v est en rotation ` a la vitesse angulaire constante : Ď=
qB m
(2.52)
Pour analyser la trajectoire, on pose les conditions initiales : t = 0 x = x0
z = z0
y = y0
vx = 0 vy = v1
vz = vz0
Projetons lâ´equation vectorielle du mouvement (2.51) sur le syst`eme dâaxes cart´esiens : vË x = Ďvy
(2.53)
vË y = âĎvx
(2.54)
vË z = 0
(2.55)
Lâ´equation (2.55) sâint`egre imm´ediatement : z(t) = z0 + vz0 t. Dans le plan (x, y), nous avons par d´erivation par rapport au temps de (2.53) et (2.54) : v¨x = Ď vË y = âĎ 2 vx v¨y = âĎ vË x = âĎ 2 vy On reconnaËÄąt des ´equations dâoscillateurs harmoniques, dont les solutions sont de la forme vx = a sin(Ďt + Ď)
(2.56)
vy = a cos(Ďt + Ď)
(2.57)
Lâamplitude a et la phase Ď sont les mËemes pour les deux ´equations car il faut satisfaire (2.54). Comme vx = 0 `a t = 0, Ď = 0. Comme vy (0) = v1 = a, on a vy = v1 cos(Ďt) et vx = v1 sin(Ďt). On int`egre (2.56) par rapport au temps pour obtenir lâ´equation horaire : x(t) = â
v1 cos Ďt + C Ď