Mecanique 1

Aspects ´ energ´ etiques de l’oscillateur harmonique

Au mˆeme ordre d’approximation : vient

p

E(t) =

115

ω02 − γ 2 ≈ ω0 . Compte tenu de (2.12), il

1 kC 2 e−t/τ 2

(2.37)

avec τ=

1 2γ

(2.38)

Dans la technique, il est fr´equent de caract´eriser un oscillateur faiblement amorti par un coefficient sans dimension appel´e facteur de qualit´ e , not´e Q. Le facteur de qualit´e est d´efinit comme le rapport : Q = 2π

(´energie emmagasin´ee dans l’oscillateur ) ´energie dissip´ee dans un cycle

Cette d´efinition implique Q = ω1 τ

(2.39)

En effet, d’une part la p´eriode vaut 2π/ω1 . D’autre part, la perte sur une p´eriode se calcule en multipliant la d´eriv´ee dE eriode, compte tenu de dt par la p´ (2.37) :

2π

dE

2π 1 = E ω1 dt ω1 τ La substitution dans la d´efinition de Q de ce r´esultat fournit directement (2.39). On peut donc voir Q comme le nombre d’oscillations de l’oscillateur dans le temps qu’il faut pour que son amplitude d´ecroisse d’un facteur e multipli´e par 2π. Une autre intuition du sens du facteur de qualit´e vient de l’´evolution de l’´energie. L’´energie E = T + V de l’oscillateur harmonique d´ecroˆıt comme e−2γt = e−t/τ = e−tω1 /Q Plus Q est grand, plus l’´energie se dissipe lentement. Le facteur de qualit´e est utilis´e pour d´ecrire plusieurs aspects des syst`emes r´esonnants. Le terme «qualit´e» vient sans doute du r´esultat suivant. On verra ci-dessous avec le r´esultat (2.32) que l’amplitude `a la r´esonance est celle de la d´eviation statique multipli´ee par le coefficient ω1 τ , c’est-`a-dire le facteur Q. Le facteur de qualit´e est souvent de 100, il peut ˆetre de 10 000, par exemple pour un quartz. Mise en contexte

On est habitu´e au stockage de l’´energie sous la forme de batteries ´electrochimiques, ou de barrages. Quelques exemples `a la section 3.11 permettent de r´ealiser qu’une grande quantit´e d’´energie peut aussi ˆetre emmagasin´ee sous la forme de la rotation d’un solide.