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Coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques
Les coordonn´ ees cylindriques sont ρ, φ, z d´efinies dans la figure 1.11. La relation entre coordonn´ees cart´esiennes et cylindriques s’obtient imm´ediatement par inspection de la figure 1.11. x1 = ρ cos φ x2 = ρ sin φ x3 = z Utiliser les coordonn´ees cylindriques pour d´ecrire le mouvement d’un point mat´eriel signifie que l’´equation horaire est donn´ee par ρ = ρ(t) φ = φ(t) z = z(t) x3
x3
point matériel
r
z O φ
θ O
x2
x2
φ
ρ
x1
x1
Fig. 1.11 Coordonn´ees cylindriques.
Fig. 1.12 Coordonn´ees sph´eriques.
La position d’un point mat´eriel peut ˆetre donn´ee alternativement par les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, φ) d´efinies par la figure 1.12. La relation entre les coordonn´ees cart´esiennes et sph´eriques est donn´ee par x1 = r sin θ cos φ x2 = r sin θ sin φ x3 = r cos θ Le mouvement du point mat´eriel en coordonn´ees sph´eriques est donn´e par r = r(t) θ = θ(t) φ = φ(t) On va maintenant d´efinir un rep`ere li´e au point mat´eriel. Il sera alors bien clair que ce rep`ere n’est pas notre r´ef´erentiel ! L’orientation de ce rep`ere est donn´ee par les lignes de coordonn´ees. Une ligne de coordonn´ ee est le lieu g´eom´etrique des points qui ont deux coordonn´ees de valeurs fixes. Cette ligne de coordonn´ee est orient´ee dans le sens
7.4