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Collisions
Proposition 1.5 Calcul de la force ` a partir de son potentiel. Si V (r) existe, alors les projections de la force sur un rep`ere cart´esien du r´ef´erentiel sont donn´ees par X ∂V F = − ei ∂xi i ´monstration. L’´el´ement de travail F · dr est celui d’un chemin infinit´eDe simal allant d’un point en r a` un point en r + dr : F · dr = −V (r + dr) + V (r). Prenons dr = ∆`ei o` u ei est un vecteur unit´e port´e par l’axe cart´esien de la coordonn´ee xi : F · dr = ∆`F · ei = Fi ∆` = −V (r + ∆`ei ) + V (r) = −
∂V ∆` ∂xi
La derni`ere ´egalit´e applique la d´efinition de la d´eriv´ee partielle. On note F = − grad V ou F = −∇V cette op´eration de d´erivation par (5) rapport aux coordonn´ees cart´esiennes . Exemple 1.1 Mouvement rectiligne On consid`ere un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer sur une droite et soumis ` a la force F (x). F (x) s’obtient imm´ediatement par d´erivation du potentiel. En effet, de Zx V (x) = −
F x0 dx0
xs
on tire F (x) = − dV dx . Application
L’´energie d’un oscillateur harmonique amorti est ´etudi´ee `a titre d’exemple a la section 2.11. `
1.12
Collisions
On dit qu’il y a collision quand deux ou plusieurs objets se rapprochent et subissent une interaction mutuelle. En r`egle g´en´erale, on pr´esume que les forces d’interaction sont n´egligeables quand les objets sont suffisamment ´eloign´es. On peut donc distinguer un « avant » et un « apr`es » la collision. Contrairement `a l’usage courant du terme, « collision » ici n’implique pas forc´ement qu’il y ait
(5)
La d´ efinition de cet op´ erateur diff´ erentiel pour tout syst` eme de coordonn´ ees n’est pas n´ ecessaire pour les exemples trait´ es dans ce livre.
12.1