Q
σc
Q
σc 4
t
Q
t
Q
2h
h
σt
Q
Q
Q
σt 4
Q
ϕ/8
ϕ
w
h h/2 Sollicitations, déformations et déplacements dans une poutre d’une hauteur h et dans une poutre de hauteur double
2 σc
Q
t
Q h
h/2
Q 2a
2 σt
Q 2a
2l 8w
4ϕ
raccourcissement double allongement double Sollicitations, déformations, courbure, angle de rotation et déplacement dans une poutre de longueur double
poutre, de sorte que les déformations et le déplacement diminuent aussi de moitié. Nous obtenons donc une rigidité double, exactement comme si nous avions disposé deux poutres identiques l’une à côté de l’autre; en d’autres termes, la rigidité est directement proportionnelle à l’épaisseur. Si nous doublons la hauteur h en conservant la charge Q et les autres dimensions, nous obtenons: – la hauteur effective z double, de sorte que les efforts dans les membrures de la structure funiculaire qui décrit le fonctionnement de la poutre diminuent de moitié; – les aires de la zone comprimée et de la zone tendue doublent elles aussi (t · h au lieu de t · h/2); – la contrainte de traction et de compression que nous obtenons en divisant l’effort par l’aire est donc 1/4 de la contrainte dans la poutre originelle, – il en résulte que les déformations de la zone tendue et de la zone comprimée que nous obtenons en divisant les contraintes par le module d’élasticité sont elles aussi réduites à 1/4; – comme relevé précédemment (cf. p. 165), la courbure est proportionnelle aux déformations, alors qu’elle est inversement proportionnelle à la hauteur effective z.
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En d’autres termes, si nous doublons la hauteur h, nous obtenons une rigidité huit fois plus grande (le déplacement correspond à celui de huit poutres disposées l’une à côté de l’autre, ou l’une sur l’autre, sans être reliées entre elles!). En effet, la rigidité d’une poutre rectangulaire dépend de la hauteur élevée au cube. Doublons la portée l et la distance a, en conservant la section de la poutre et la charge: l’effort, les sollicitations et les déformations doublent aussi, de sorte que la courbure double également. L’angle de rotation j, qui dépend de la courbure et de la longueur, est alors quadruplé, alors que le déplacement, qui dépend de l’angle de rotation et de la distance, est huit fois plus grand que celui de la poutre de portée l. En généralisant, nous pouvons affirmer que la rigidité d’une poutre chargée par des charges concentrées est inversement proportionnelle à sa portée élevée au cube. En récapitulant, pour un rapport constant entre la distance a et la portée l, nous pouvons dire que la rigidité de la poutre, définie comme le rapport entre la charge Q et le déplacement w, est proportionnelle à E ⋅t ⋅h3 l3 LES POUTRES
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