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Principes d’applications des ´ equations de Lagrange
Plusieurs types de forces peuvent ˆetre trait´es. On consid`ere d’abord le cas des forces conservatives. Ainsi, on suppose que les forces F α d´erivent d’un potentiel Vα : F α = −∇α Vα (r α ) Proposition 4.3 Equations de Lagrange, forces conservatives. Si toutes les forces sont conservatives, les ´equations de Lagrange peuvent s’´ecrire d ∂L ∂L − =0 (4.14) dt ∂ q˙j ∂qj o` u L = T − V est appel´e le lagrangien et V = ´monstration. De nition (4.8) : Qpot j
PN
α=1
Vα (r α ).
Les forces g´en´eralis´es s’obtiennent en partant de la d´efi N X 3 X ∂V (q1 , . . . , qn ) ∂Vα ∂xαi =− =− ∂xαi ∂qj ∂qj α=1 i=1
En r´esum´e : Qpot =− j
∂V ∂qj
(4.15)
Ainsi, les ´equations de Lagrange deviennent : d ∂T ∂ − (T − V ) = 0 dt ∂ q˙j ∂qj V ´etant fonction des positions, non des vitesses, on peut ´ecrire d ∂(T − V ) ∂ − (T − V ) = 0 dt ∂ q˙j ∂qj
4.3 4.3.1
Principes d’applications des ´equations de Lagrange
Exemples pour des forces conservatives
Quelques exemples du formalisme de Lagrange appliqu´e `a des syst`emes n’ayant que des forces conservatives illustrent les points suivants : •
•
L’exemple 4.4 montre que, pour un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer sur une droite sous l’effet d’une force qui d´erive d’un potentiel, l’approche de Lagrange aboutit tout naturellement `a l’´equation du mouvement bien connue. L’exemple 4.5 illustre comment la m´ethode de Lagrange ´evacue la question des forces de contrainte.
25.2