La m´ ethode de Lagrange
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J. L. Lagrange [103] s’inspire de la version du principe de moindre action dans la forme exprim´ee par Euler dans son Trait´e des Isop´erim`etres, imprim´e a Lausanne en 1744 [103, 2e partie, no 17]. Euler ne consid`ere que des corps ` isol´es. Lagrange parvient ` a g´en´eraliser ce principe `a des syst`emes soumis `a des forces ext´erieures. « On peut voir, dans le tome II des M´emoires de Turin, dit Lagrange, l’usage que j’en fait pour r´esoudre plusieurs probl`emes difficiles de dynamique. » L’historien Dugas rappelle que l’histoire des sciences, mˆeme restreinte au d´eveloppement de la m´ecanique, foisonne de d´etours, d’interf´erences entre courants d’intuition a priori divergents ou mˆeme oppos´es [104]. Ces m´eandres r´ev`elent les difficult´es profondes de la recherche et la cr´eation d’un ´edifice rationnellement organis´e. « Apr`es Lagrange, c’est-`a-dire apr`es tous les efforts d’organisation des m´ecaniciens du xviiie si`ecle, ce stade d’´elaboration est atteint pour la m´ecanique », conclut Dugas. « Il durera jusqu’`a ce que les n´ecessit´es de la physique relativiste et quantique viennent ´ebranler l’´edifice classique. »
4.2 4.2.1
La m´ethode de Lagrange 25.1
Principe de d’Alembert
On cherche ` a d´eterminer les ´equations du mouvement d’un syst`eme m´ecanique soumis ` a des contraintes. Le syst`eme est compos´e de N points mat´eriels dont les positions sont donn´ees par r α , α = 1, . . . , N , soumises `a des contraintes qui peuvent s’exprimer sous la forme d’un ensemble de k ´equations du type : f1 (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0 f2 (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0 .. .
(4.1)
fk (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0 Avec k contraintes, on a k ´equations de ce type. On peut en principe r´esoudre pour k des variables en fonction des 3N − k autres. Ainsi, le syst`eme a n = 3N − k variables ind´ependantes. Il peut s’agir d’une combinaison de coordonn´ees cart´esiennes, d’angles et mˆeme d’abscisses curvilignes. On les d´esignera comme des coordonn´ ees g´ en´ eralis´ ees (q1 , . . . , qn ). Les qi peuvent varier de fa¸con ind´ependante. On dit que le syst`eme a n degr´ es de libert´ e et on appelle n le nombre de degr´ es de libert´ e du syst`eme. Il est important en m´ecanique analytique de bien saisir cette notion du nombre de degr´es de libert´e. En voici quelques exemples : • • •
un point mat´eriel sur un cˆone : 2 degr´es de libert´e ; un point mat´eriel sur un cˆone et reli´e au sommet par une barre rigide : 1 degr´e de libert´e ; un cylindre roulant sans glisser le long d’un plan inclin´e : 1 degr´e de libert´e ;