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Pendule math´ ematique plan
Mise en contexte
Dans la section qui suit, on va traiter le probl`eme du pendule. On raconte que Galil´ee avait m´edit´e sur les oscillations dâun pendule et avait conclu que la force de la pesanteur devait Ëetre proportionnelle `a la masse. Cette masse est-elle la mËeme que celle que nous avons rencontr´ee dans la d´efinition de la quantit´e de mouvement ? (Nous verrons cette question `a la section 3.8.)
2.9
Pendule math´ematique plan
On consid`ere un pendule mod´elis´e comme un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer sur un cercle dans un plan vertical et soumis `a la pesanteur (fig. 2.23). On appelle ce mod`ele le pendule math´ ematique plan. La description g´eom´etrique de la liaison nous dispense dâ´ecrire sâil y a une barre sans masse reliant le point mat´eriel et le point dâattache ou si le point mat´eriel se d´eplace sur un cercle. On nâa ´egalement pas besoin de pr´eciser que lâarticulation en O est sans frottement. 0
y Ď eĎ T
F
eĎ
x
Fig. 2.23 Syst`eme dâaxe et coordonn´ees cylindrique pour le pendule math´ematique.
R´ef´erentiel, rep`ere, coordonn´ees Le r´ef´erentiel est mat´erialis´e par les axes Oxy, O est le point dâattache du pendule, lâaxe Ox est choisi vertical dirig´e vers le bas. On utilise les coordonn´ees cylindriques (Ď, Ď, z) et le rep`ere associ´e : eĎ , eĎ , ez . Bilan des forces Le point mat´eriel est soumis aux forces suivantes : â˘
â˘
On d´ecrit ici la pesanteur par une force F verticale constante. Les ´equations du mouvement permettront de conclure que si la p´eriode est ind´ependante de la masse, alors la force doit Ëetre proportionnelle `a la masse. La liaison implique lâexistence dâune force T qui doit Ëetre parall`ele `a OP (pas de frottement).
9.2