Mecanique 1

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Mouvements ` a la surface de la Terre

Avec les conditions initiales : x(0) = y(0) = 0, il reste : x(t) ˙ = 2ω sin ϕy(t) + x(0). ˙ Mais on ne connaˆıt pas encore y(t). On passe donc `a l’´equation (2.64). Si ω = 0, alors y(t) = y(0)t, ˙ car le mouvement est rectiligne, uniforme et horizontal. Si ω 6= 0, alors y(t) diff`ere de y(0) ˙ par une quantit´e proportionnelle `a ω, au premier ordre d’approximation. Cette correction, quand elle est substitu´ee dans l’´equation pour x(t), ˙ fournit un terme proportionnel `a ω 2 . Alors, on n´eglige cette correction pour ne garder que des termes du premier ordre en ω : x(t) ˙ = 2ω sin ϕ y(0)t ˙ + x(0) ˙ Il s’agit encore une fois d’un calcul de perturbation au premier ordre. On peut proc´eder de mani`ere similaire pour l’´equation (2.64) : y(t) ˙ = −2ω sin ϕ x(0)t ˙ + y(0) ˙ On peut alors int´egrer encore une fois : 2 x(t) = ω sin ϕy(0)t ˙ + x(0)t ˙ 2 y(t) = −ω sin ϕx(0)t ˙ + y(0)t ˙

Pour mieux r´ev´eler le sens physique de cette approximation, on note s la d´eflection au temps t par rapport `a la trajectoire rectiligne : q 2 2 s= x − x(0)t ˙ + y − y(0)t ˙ = ωt sin ϕv0 t (2.65) p avec v0 = x(0) ˙ 2 + y(0) ˙ 2 . Le r´esultat est ´ecrit de cette mani`ere pour faire apparaˆıtre l’angle ωt de rotation de la Terre pendant le temps t et la vitesse dans le plan parall`ele au plan de l’´equateur (sin ϕv0 ). On exprime ainsi le r´esultat qu’aurait d´eduit naturellement un observateur regardant la Terre depuis un point « au-dessus » du pˆ ole Nord (fig. 2.48), dans un r´ef´erentiel li´e aux ´etoiles. N v0 sin ϕ

ωt

N

ϕ

s

ϕ

sin ϕ v0 t

S

Fig. 2.48 Interpr´etation g´eom´etrique pour un tir vers le sud : la vitesse dans le plan normal a ` l’axe de la Terre vaut v0 sin ϕ.

2.16.3

Pendule de Foucault

Foucault (1819-1868) veut montrer que la Terre n’est pas un r´ef´erentiel 16.3 d’inertie. Il fait construire un pendule de 67 m de long, avec une masse de