Rotations
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la vitesse et de l’acc´el´eration dans le rep`ere associ´e `a ces coordonn´ees, qui sont donn´ees ` a la section 2.7.
1.8
Rotations
On fait ici appel ` a la notion ´el´ementaire de rotation comme la transformation g´eom´etrique d´efinie par un axe et un angle. En invoquant le mouvement du tire-bouchon correspondant `a sa rotation dans le sens croissant de l’angle, on d´efinit une orientation ` a l’axe de rotation. Cette notion de rotation, bien que famili`ere `a tous, demeure difficile `a manipuler quand elle est exprim´ee sous forme math´ematique. Et pourtant, elle est centrale en m´ecanique. On peut bien s’imaginer que le mouvement d’un solide n´ecessite une description des rotations. En fait, la notion de rotation intervient aussi en cin´ematique du point mat´eriel, pour la raison suivante. L’expression d’un probl`eme de m´ecanique est souvent simplifi´ee si le rep`ere choisi est en mouvement. C’est le cas notamment lorsqu’on travaille avec des coordonn´ees cylindriques ou sph´eriques. Or, le th´eor`eme d’Euler affirme que tout changement d’orientation d’un rep`ere dont l’origine est fixe est une rotation (probl`eme 5.1). Rotations infinit´esimales En m´ecanique, nous aurons affaire `a des rep`eres qui ´evoluent au cours du temps. Pour le calcul des d´eriv´ees temporelles, il faudra consid´erer le rep`ere `a l’instant t et t + dt. Entre t et t + dt, le rep`ere aura subit une rotation infinit´esimale, c’est-` a-dire que l’angle de rotation sera infiniment petit (probl`eme 5.3). D’une mani`ere g´en´erale, une matrice de rotation infinit´esimale doit avoir la forme 1 + ε o` u 1 d´esigne la matrice identit´e 1 0 0 0 1 0 0 0 1 La matrice ε n’a que des ´el´ements infiniment petits ou nuls. En g´en´eral, la composition des rotations se calcule comme le produit des matrices des rotations correspondantes (probl`eme 5.2). Dans le cas de rotations infinit´esimales, nous avons le r´esultat simple suivant : (1 + ε1 )(1 + ε2 ) = 1 + ε1 + ε2
(1.5)
On a n´eglig´e les termes sup´erieurs au premier ordre. Par cons´equent, `a la composition des rotations infinit´esimales correspond l’addition des matrices ε correspondantes. Ce r´esultat implique que la transformation inverse est imm´ediate : (1 + ε)−1 = 1 − ε. En effet, au premier ordre, on a (1 + ε)(1 − ε) = 1 + ε − ε = 1.
8.1