Acc´ el´ eration normale et tangentielle
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appelle abscisse curviligne s du point mat´eriel P la distance mesur´ee le long de la trajectoire, ` a partir du point O, avec le signe positif ou n´egatif suivant que P est atteint dans le sens de l’orientation ou son oppos´e (fig. 1.8).
O
s
Fig. 1.8 Abscisse curviligne s.
La vitesse scalaire est ds ee par l’odom`etre dt = v. C’est la vitesse indiqu´ d’une voiture. Si la trajectoire est donn´ee de fa¸con param´etrique comme une fonction de s, r = r(s) avec s = s(t), alors la vitesse vectorielle peut s’´ecrire v=
dr dr ds dr = =v dt ds dt ds
Posons τˆ = dr ˆ est un vecteur unit´e. En effet, par inspection ds . Le vecteur τ du dessin (fig. 1.9) il apparaˆıt `a la limite dt → 0 : |dr| = |ds| donc
dr |dr|
=
ds |ds| = 1 ds dr
r(t)
r(t+dt)
Fig. 1.9 El´ement d’arc ds et accroissement dr.
Pour l’acc´el´eration, la d´erivation fait apparaˆıtre deux termes : a=
dv d dˆ τ v τˆ = τˆ + v dt dt dt
Le premier terme est l’acc´ el´ eration tangentielle : dv ˆ. Le deuxi`eme terme dt τ dˆ τ v dt est appel´e l’acc´ el´ eration normale. Elle est normale `a la tangente `a la trajectoire. En effet, puisque τˆ · τˆ = 1, on a d dˆ τ τˆ · τˆ = 0 = 2ˆ τ· dt dt τ C’est dire que dˆ ` τˆ. Cette analyse aboutit `a la notion dt est perpendiculaire a suivante : quand une vitesse change de direction sans changer d’amplitude