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Solide avec un axe fixe
1.20.2
Equation d’´evolution pour les projections sur un axe fixe
On consid`ere ici des probl`emes pour lesquels un axe est d’orientation fixe et on ne s’int´eresse dans un premier temps qu’`a exploiter la projection du th´eor`eme du moment cin´etique sur cet axe. Soit u ˆ le vecteur unit´e port´e par l’axe. On a vu que la projection du moment cin´etique sur un axe de rotation avait une expression simple : ! X 2 LO · u ˆ= mα dα ω = IO∆ ω α
La formule de Steiner (2.82) nous donnait le moment d’inertie par rapport `a un axe passant par O, en fonction du moment par rapport `a un axe parall`ele passant par G : IO∆ = M d2G + IG∆ . Il ne reste plus qu’` a consid´erer maintenant la projection des moments ext´erieurs : X u ˆ · M ext ˆ OPα ∧ F α . O =u α k F⊥ α +F α
F⊥ α
Ecrivons F α = o` u est dans le plan normal `a l’axe et F kα , parall`ele ⊥ a l’axe (fig. 1.37). Seul ` `a la projection du moment selon l’axe. P F α contribue ⊥ Alors u ˆ · M ext = u ˆ · OP ∧ F . De plus, on d´ecompose le vecteur OPα = α O α α OPα0 + Pα0 Pα . Seul Pα0 Pα contribue `a la projection du moment sur l’axe si on prend pour Pα0 la projection du point Pα sur l’axe. Il reste : X X 0 ⊥ ⊥ 0 ⊥ u ˆ · M ext = u ˆ · P P ∧ F = F d sin angle P P , F α O α α α α α α α α
α
o` u dα d´enote la distance entre le point d’application de la force et l’axe. L’´equation du mouvement pour la vitesse angulaire instantan´ee est donc X ⊥ 0 F ⊥ IO∆ ω˙ = d sin angle F , P P (1.58) α α α α α α
D Pa' Pa 0
||
Fa
^
Fa
Fig. 1.37 D´ecomposition de force F α exerc´ee en Pα , faisant apparaˆıtre l’effet de manivelle bien connu.