Introduction aux principes variationnels
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Comme il n’y a pas de frottement, l’´energie m´ecanique est conserv´ee. 1 mv 2 2 V = −mgz T =
On a pris l’axe z vers le bas et V = 0 en A. En A, v = 0, donc E = T + V = 0, soit v 2 = 2gz. On va utiliser une ´equation param´etrique de la courbe qui est, par d´efinition du probl`eme, la trajectoire du point mat´eriel. Soit q le param`etre, variant de q = a en A ` a q = b en B. On ´ecrit la trajectoire sous la forme x = x(q) z = z(q) o` u q varie de a ` a b. Le mouvement de la masse est donn´e par q = q(t) o` u t est le temps. On calcule la vitesse en fonction de q et q˙ : x˙ =
dx q˙ dq
dz q˙ dq
z˙ =
La conservation de l’´energie implique s 2 2 dx dz dq p + = 2gz dq dq dt Par int´egration, on a p
Zb
s
2gt = I =
dx dq
2
+
dz dq
2
a
dq √ z
Ce qu’on cherche ce sont les fonctions x(q), z(q) qui rendent I minimal. Pour comprendre intuitivement le calcul qui va suivre, on peut s’imaginer devoir d´eterminer exp´erimentalement la courbe optimale. On partirait d’une courbe qu’on pense ˆetre la bonne. Puis on ´evaluerait la performance des courbes voisines et on chercherait ainsi l’optimum. C’est cette id´ee-l`a que nous allons utiliser dans le calcul des variations. Convenons de noter x(q), z(q) la solution, et consid´erons une courbe infiniment proche, donn´ee par x1 = x + εα(q) z1 = z ε est pr´esum´e infiniment petit et α(q) quelconque, mais nul `a q = a et `a q = b. On va substituer dans l’int´egrale I les valeurs x1 et z1 : Zb I1 = a
1 √ z
s
dx1 dq
2
+
dz dq
2 dq