Mecanique 1

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Vitesse et acc´ el´ eration en coordonn´ ees g´ en´ eralis´ ees

y

v (t +dt) v (t )

P

a (t )dt

ωt O

A

x

Fig. 2.19 Accroissement infinit´esimal a(t) dt = v(t + dt) − v(t). Le syst`eme d’axes cart´esiens Oxyz sert de r´ef´erentiel.

Mise en contexte

L’appareillage math´ematique d´evelopp´e jusqu’ici permet de traiter de nombreux probl`emes de m´ecanique comportant des contraintes g´eom´etriques. Toutefois, le tr`es grand succ`es de la m´ecanique Newtonienne r´eside dans l’´etablissement de la loi universelle de la gravitation. Depuis son ´etablissement, toutes les tentatives de mesurer une d´eviation de son expression math´ematique en 1/r2 ont ´echou´e (sect. 3.6).

2.7

Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees g´en´eralis´ees

L’usage des coordonn´ees cylindriques ou sph´eriques permet d’exprimer simplement les contraintes g´eom´etriques d’une situation physique donn´ee. Par exemple, on verra que les coordonn´ees cylindriques permettent d’´ecrire des ´equations du mouvement simples pour une masse ponctuelle pesante suspendue ` a un fil (sect. 2.9). On aura besoin des composantes de la vitesse et de l’acc´el´eration projet´ees dans les rep`eres associ´es `a ces syst`emes de coordonn´ees. Ce sont des r´esultats qu’on doit consid´erer comme faisant partie d’un formulaire de m´ecanique. Proposition 2.1 Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees g´en´eralis´ees. En coordonn´ees cylindriques : ˙ φ + ze v = ρe ˙ ρ + ρφe ˙ z a = ρ¨ − ρφ˙ 2 eρ + ρφ¨ + 2ρ˙ φ˙ eφ + z¨ez

(2.22) (2.23)

En coordonn´ees sph´eriques : ˙ θ + rφ˙ sin θeφ v = re ˙ r + rθe ar = r¨ − rθ˙2 − rφ˙ 2 sin2 θ aθ = rθ¨ + 2r˙ θ˙ − rφ˙ 2 cos θ sin θ aφ = rφ¨ sin θ + 2rφ˙ θ˙ cos θ + 2r˙ φ˙ sin θ

(2.24)

7.2

7.3