Mecanique 1

151

Calculs de moments d’inertie

LGk = Ikk ωk . En particulier, LG3 = I33 ω3 = I33 |ω| cos θ est non nul. Ainsi, LG a une composante perpendiculaire `a l’axe : LG n’est pas parall`ele `a ω ! Ce non-parall´elisme a une cons´equence physique importante : un moment de force doit ˆetre exerc´e sur l’axe pour maintenir cette rotation uniforme (§ 1.21.2). Tenseur d’inertie d’un anneau

Soit un anneau de rayon R, de masse M . Prenons le choix d’axes de la figure 2.63. Calculons explicitement les composantes du tenseur d’inertie I G pour constater que seuls les composantes diagonales sontP non nulles. De l’expression 2 (1.53) du tenseur en G, on a en particulier IG11 = α mα R2 − y1α . y3

ma G

y2

y1

Fig. 2.63 El´ement de masse sur un anneau, choix des axes de coordonn´ees.

Pour faire le calcul, on passe `a la limite d’´el´ements de masse infiniment petits, la somme devient ainsi une int´egrale. Pour tout corps homog`ene dont on connaˆıt la masse, on invoque pour le passage `a l’int´egrale la densit´e, d´eduite simplement en divisant la masse par le volume. Ici, on a un anneau de dimensions lat´erales n´egligeables, alors on a une densit´e lin´eique M/2πR. Ainsi la somme devient X α

2 mα y2α

Z −→

dmy22

Z2π =

R dθ 2πR

M (R cos θ)2

0

1 = 2π

Z2π

M R2 cos2 dθ =

1 M R2 2

0

On obtient donc I11 P = 12 M R2 . Consid´erons un ´el´ement hors diagonale. On a, par exemple : I12 = α mα [0 − y1α y2α ]. Dans cette somme, pour chaque y2α , il y a 2 positions sym´etriques avec y1α n´egatif et positif, donc cette somme s’annule. Il en va de mˆeme de I13 et I23 . Par cons´equent, les axes choisis sont les axes principaux d’inertie au point G.