Mecanique 1

145

Point de r´ ef´ erence du moment cin´ etique

Soit, en regroupant les termes, v a (P ) = v a (A) + v rel (G) + Ω ∧ AG + (Ω + ω rel ) ∧ GP Or v a (G) = v a (A) + Ω ∧ AG + v rel (G). Il reste ainsi : v a (P ) = v a (G) + ω a ∧ GP o` u ω a d´ecrit la rotation relative au r´ef´erentiel absolu, avec ω a = Ω + ω rel . Un solide est en rotation par rapport ` a un axe fixe si deux points A, B du solide sont fixes dans le r´ef´erentiel. Les propri´et´es suivantes sont imm´ediates : •

L’axe de rotation ∆ contient A et B.

•

Tous les points de l’axe ont une vitesse nulle.

•

Les points hors de l’axe ont un mouvement circulaire.

•

a(P ) = ω ˙ ∧ AP − ω 2 OP , o` u O est le centre du cercle d´ecrit par P .

La derni`ere proposition d´ecoule de v(P ) = ω ∧ AP avec A sur l’axe. En d´erivant, on tire a(P ) = ω ˙ ∧ AP + ω ∧ (ω ∧ AP ). Comme dernier exemple de mouvement particulier, on mentionne le mouvement arbitraire d’un corps solide ind´eformable avec un point fixe. Le th´eor`eme d’Euler stipule qu’il s’agit d’une rotation (§ 5.1). Mise en contexte

On est all´e au-del` a du mod`ele du point mat´eriel en mod´elisant un objet comme un solide ind´eformable. Ce faisant, on occulte la question de savoir ce qui maintient le solide dans sa configuration rigide. Ce sont des forces int´erieures. Pour rendre plus clair ce concept de forces int´erieures, on examine, `a la section 3.18, des objets de forme aussi simple que possible : des fils ou des chaˆınettes.

2.19

Point de r´ef´erence du moment cin´etique

Quand on a ´etabli les lois de la dynamique du solide, on a utilis´e le moment 19.2 cin´etique en O, un point du r´ef´erentiel, ou en G, le centre de masse (§ 1.19.1). Il est utile parfois de d´efinir le moment cin´etique en A quelconque, en mouvement par rapport au r´ef´erentiel : LA =

X

APα ∧ mα v α

(2.68)

α

Proposition 2.3 Th´eor`eme du transfert. Soient O et A deux points quelconques. On a LA = AO ∧ M V G + LO (2.69)