Mecanique 1

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Charges dans un champ magn´ etique, frottement sur plan inclin´ e

z B

O

y

x

Fig. 2.35 Choix des axes : z parall`ele au champ d’induction uniforme B.

ment (2.51) implique que la vitesse |v| est constante (car dv 2 /dt = 2v · v˙ = 0) et que v est en rotation ` a la vitesse angulaire constante : ω=

qB m

(2.52)

Pour analyser la trajectoire, on pose les conditions initiales : t = 0 x = x0

z = z0

y = y0

vx = 0 vy = v1

vz = vz0

Projetons l’´equation vectorielle du mouvement (2.51) sur le syst`eme d’axes cart´esiens : v˙ x = ωvy

(2.53)

v˙ y = −ωvx

(2.54)

v˙ z = 0

(2.55)

L’´equation (2.55) s’int`egre imm´ediatement : z(t) = z0 + vz0 t. Dans le plan (x, y), nous avons par d´erivation par rapport au temps de (2.53) et (2.54) : v¨x = ω v˙ y = −ω 2 vx v¨y = −ω v˙ x = −ω 2 vy On reconnaˆıt des ´equations d’oscillateurs harmoniques, dont les solutions sont de la forme vx = a sin(ωt + φ)

(2.56)

vy = a cos(ωt + φ)

(2.57)

L’amplitude a et la phase φ sont les mˆemes pour les deux ´equations car il faut satisfaire (2.54). Comme vx = 0 `a t = 0, φ = 0. Comme vy (0) = v1 = a, on a vy = v1 cos(ωt) et vx = v1 sin(ωt). On int`egre (2.56) par rapport au temps pour obtenir l’´equation horaire : x(t) = −

v1 cos ωt + C ω