Cin´ ematique du point mat´ eriel
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le laboratoire,
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le centre du Soleil et 3 ´etoiles fixes,
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un carrousel,
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un syst`eme d’axes cart´esiens arbitrairement choisi.
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Formellement, on appelle r´ ef´ erentiel un ensemble de N points (N ≥ 4) non coplanaires, immobiles les uns par rapport aux autres. Par extension, on appelle aussi r´ef´erentiel l’ensemble de tous les points immobiles par rapport aux N points consid´er´es. La question du changement de r´ef´erentiel (sect. 1.15) est essentielle en physique. Elle conduira `a la th´eorie de la relativit´e (sect. 1.221.24). Il arrive souvent qu’on puisse d´ecrire le mouvement d’un objet, et mˆeme pr´edire correctement son mouvement par les lois de la dynamique, en associant l’objet ` a un point g´eom´etrique auquel on attribue la masse de l’objet. C’est ce qu’on appelle un point mat´ eriel . La physique g´en`ere des repr´esentations des ph´enom`enes de la Nature par l’usage de lois et de mod`eles. La m´ecanique donne une occasion simple de voir en op´eration la notion de mod`ele. C’est dans cette optique de mod´elisation qu’il faut comprendre que les objets suivants puissent ˆetre consid´er´es comme des « points » : •
une locomotive en ligne droite,
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un homme qui se jette d’un pont attach´e `a un ´elastique,
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une sph`ere d’acier au bout d’un fil tr`es long.
Il s’agit d’un mod`ele ! C’est-`a-dire que cela ne peut ˆetre qu’une approximation. On verra les limites de ce mod`ele quand on ´etudiera la m´ecanique du corps solide ind´eformable. Par exemple, si on consid`ere une sph`ere au bout d’un fil, le mod`ele du point mat´eriel doit ˆetre abandonn´e quand la longueur du fil est de l’ordre de grandeur du diam`etre de la sph`ere ou quand la pr´ecision de la pr´ediction est pouss´ee assez loin. L’erreur introduite par le mod`ele du point mat´eriel peut ˆetre qualitative au lieu d’ˆetre simplement quantitative. C’est le cas du mouvement de la boule de billard. On appelle trajectoire le lieu g´eom´etrique des points du r´ef´erentiel occup´es par un point mat´eriel au cours du temps. Soit O un point particulier du r´ef´erentiel. Soit P la position du point mat´eriel. Notons r le vecteur OP . La fonction r(t) donne la position d’un point mat´eriel en tout temps t. On l’appelle l’´ equation horaire. Pr´edire r(t) est au fond le but ultime de la m´ecanique. L’´equation horaire est l’´equation param´etrique de la trajectoire, o` u le param`etre est le temps. Elle donne plus d’information que la trajectoire : elle dit a quel moment le point mat´eriel atteint un point de la trajectoire ! ` La vitesse vectorielle instantan´ ee se d´efinit tr`es naturellement par une d´eriv´ee vectorielle : v(t) = lim
∆t→0
dr r(t + ∆t) − r(t) = ∆t dt
(1.1)