Cin´ ematique du solide
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(sect. 3.18). On entrerait alors dans le domaine de la r´esistance des mat´eriaux. Enfin, si on allait jusqu’` a consid´erer les tr`es grandes d´eformations, comme celle d’un fluide, on s’engagerait dans l’´etude de l’hydrodynamique. 1.18.1
Coordonn´ees ind´ependantes
On veut d’abord sp´ecifier la position d’un solide par rapport `a un r´ef´erentiel. Combien de coordonn´ees ind´ependantes faut-il se donner, en g´en´eral ? Proposition 1.17 Nombre de coordonn´ees. Il suffit de sp´ecifier au plus 6 coordonn´ees pour d´efinir la position de tout point d’un solide ind´eformable de forme donn´ee. ´monstration. On r´ealise d’abord qu’il suffit de connaˆıtre la position de De trois points non colin´eaires du solide pour connaˆıtre la position de n’importe quel autre de ses points. Il nous faut les coordonn´ees suivantes pour sp´ecifier les positions de ces trois points : •
Premier point : 3 coordonn´ees ;
•
Deuxi`eme point : en toute g´en´eralit´e 3 coordonn´ees, mais ici il y a une contrainte, le deuxi`eme point est sur une sph`ere centr´ee au premier point. Il ne faut donc que 2 coordonn´ees ind´ependantes pour situer le deuxi`eme point sur cette sph`ere, typiquement deux angles ;
•
Troisi`eme point : une fois les positions des deux premiers points fix´ees, le troisi`eme point ne peut faire qu’une rotation autour de l’axe passant par les deux premiers points. Donc ce troisi`eme point est rep´er´e par 1 coordonn´ee ind´ependante, typiquement un angle.
Au total il faut donc 6 coordonn´ees ind´ependantes pour d´efinir la position d’un solide dans l’espace. Au lieu de donner les coordonn´ees de trois points non colin´eaires du solide, on peut aussi donner les trois coordonn´ees d’un point du solide, et trois angles qui sp´ecifient l’orientation du solide. Il est souvent commode d’utiliser les angles d’Euler, d´efinis ci-dessous (sect. 3.16). 1.18.2
Vitesse et acc´el´eration d’un point du solide
On consid`ere un r´ef´erentiel R0 mat´erialis´e par un syst`eme d’axes cart´esiens Ox1 x2 x3 et un solide comprenant un point A de vitesse V (A) (fig. 1.34). L’´evolution dans le temps de l’orientation du solide est d´ecrite par la vitesse angulaire ω. P d´esignera toujours dans ce qui suit un point quelconque du solide. Proposition 1.18 Vitesse d’un point du solide. V (P ) = V (A) + ω ∧ AP
(1.41)