Mecanique 1 by EPFL Press

Presses polytechniques et universitaires romandes Editeur scientifique et technique

Les essentiels de la physique

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Newton, 1642-1727

« Dès 1661, Newton, avec le soutien de son oncle, poursuivit des études de mathématiques au Trinity College de l’Université de Cambridge. Pendant une épidémie de peste en 1665, il se retira pour sa protection à Woolsthorpe ; cette année-l` a et surtout l’année qui suivit, 1666, fut déclarée annus mirabilis. A 24 ans seulement, pendant cette courte période, Newton con¸cut les bases de la loi binomiale, du calcul différentiel, de la théorie des couleurs, la force centripète, les lois du mouvement et la théorie de la gravitation. » [1]

Chapitre 1

Les fondements de la m´ ecanique 1.1

La formation scientifique « La mécanique est le fondement sur lequel tout l’édifice de la physique théorique se construit, la racine d’o` u pousse toute autre branche de la science ». L. Boltzmann [2]

L’objectif d’un cours de mécanique est de savoir mettre sous forme mathématique une situation physique. Les expériences décrites ainsi font partie de la vie courante : chute sur un plan incliné, toupies, ressorts, pendules, etc. Grâce à cette familiarité avec les phénomènes à décrire, toute l’attention peut se porter sur l’effort de mathématisation. Une formation scientifique doit permettre aux étudiants de se familiariser avec l’emploi des mathématiques en tant que langage de l’ingénieur et du physicien. Selon le philosophe et historien des sciences Alexandre Koyré [3] : « La physique d’Aristote, et plus encore celle des nominalistes parisiens (xive siècle) [. . .] était beaucoup plus proche de l’expérience du sens commun que celle de Galilée et de Descartes. Ce n’est pas “l’expérience”, mais “l’expérimentation” qui joua – plus tard seulement – un rôle positif considérable. L’expérimentation consiste ` a interroger méthodiquement la nature ; cette interrogation présuppose et implique un langage dans lequel formuler les questions, ainsi qu’un dictionnaire nous permettant de lire et d’interpréter les réponses. » On peut s’imaginer Galilée proclamant que la « philosophie » est écrite dans ce grand livre, la nature, qui se tient continuellement ouvert à notre regard. « Mais ce livre ne peut pas être compris à moins qu’on apprenne le langage et l’alphabet avec lequel il est composé. Il est écrit dans le langage des mathématiques, et ses caractères sont les triangles, les cercles ou toute autre forme géométrique, sans lesquelles il est humainement impossible de comprendre un seul de ses mots ; sans ces éléments, on erre dans un labyrinthe obscur. » [4] La science ne répond pas à la question « pourquoi ? », mais à « comment ? » [5]. L’étude de la mécanique le démontre. On y apprend en effet à utiliser un formalisme mathématique pour déduire des conséquences physiques.

Les fondements de la m´ ecanique

C’est le cas par exemple avec la description du mouvement d’une toupie : « pourquoi ne tombe-t-elle pas ? » demande-t-on à la légère. Le traitement formel du problème du gyroscope remplace la question « pourquoi ? » par une description qui fait appel ` a des lois et des modèles. L’étudiant, au niveau universitaire, se doit de passer de l’état d’utilisateur servile de quelques formules ` a celui d’acteur sachant générer des résultats dans un contexte nouveau et juger les limites d’applicabilité des schémas théoriques qu’il invoque. L’étude de la mécanique contribue à développer cet esprit scientifique. La mécanique du point matériel met en scène le statut de loi physique et le caractère opératoire des modèles. La mécanique du solide indéformable illustre une amélioration notoire du modèle du point matériel. La méthode de Lagrange suggère la possibilité de principes fédérateurs plus fondamentaux. La relativité restreinte montre que les présupposés les plus évidents peuvent un jour être remis en cause. Il faut savoir apprécier le long chemin parcouru depuis l’Antiquité, qui aboutit ` a ces formidables développements des temps modernes. Applications

Alors que ce chapitre constitue en quelque sorte une « théorie de la mécanique », le chapitre 2 rassemble des applications typiques de cette théorie (sect. 2.1). Comme il s’agit de développer un savoir-faire, il est très important d’examiner ces applications progressivement au fur et à mesure que les outils mathématiques sont développés dans le présent chapitre.

1.2 2.1

Cin´ematique du point mat´eriel

La cin´ ematique est cette partie primordiale de la mécanique qui exprime sous forme mathématique le mouvement des corps. Cette discipline se distingue de la dynamique qui cherche à mettre en place une description des causes du mouvement. Ici, la cinématique du point matériel est présentée. Plus loin dans ce traité, quand on abordera la mécanique du solide indéformable, il faudra se poser la question de savoir comment décrire la position et la vitesse de tout point d’un solide. Une préoccupation semblable apparaˆıtra en mécanique des milieux continus déformables et en hydrodynamique. Lorsqu’on traite, dans un cours élémentaire, des problèmes de balistique (sect. 2.3) ou d’oscillateurs harmoniques (sect. 2.5), les concepts de vitesse et d’accélération ont une allure d’évidence, car on travaille en coordonnées cartésiennes. Il suffit alors d’invoquer la notion intuitive selon laquelle une vitesse est une dérivée première par rapport au temps des coordonnées cartésiennes. L’usage de coordonnées généralisées permet (sect. 1.7) d’aborder des problèmes plus complexes et illustre le sens profond des notions de cinématique. Référentiel, vitesse, accélération Pour commencer ` a discuter du mouvement de tout corps, il faut préciser ce par rapport ` a quoi le mouvement sera mesuré. Les vitesses et les accélérations sont définies ou mesurées par rapport à un référentiel qu’on se doit de spécifier. Pratiquement, un référentiel peut être par exemple :

Cin´ ematique du point mat´ eriel

•

le laboratoire,

•

le centre du Soleil et 3 ´etoiles fixes,

•

un carrousel,

•

un syst`eme d’axes cart´esiens arbitrairement choisi.

Formellement, on appelle r´ ef´ erentiel un ensemble de N points (N ≥ 4) non coplanaires, immobiles les uns par rapport aux autres. Par extension, on appelle aussi référentiel l’ensemble de tous les points immobiles par rapport aux N points considérés. La question du changement de référentiel (sect. 1.15) est essentielle en physique. Elle conduira à la théorie de la relativité (sect. 1.221.24). Il arrive souvent qu’on puisse décrire le mouvement d’un objet, et même prédire correctement son mouvement par les lois de la dynamique, en associant l’objet ` a un point géométrique auquel on attribue la masse de l’objet. C’est ce qu’on appelle un point mat´ eriel . La physique génère des représentations des phénomènes de la Nature par l’usage de lois et de modèles. La mécanique donne une occasion simple de voir en opération la notion de modèle. C’est dans cette optique de modélisation qu’il faut comprendre que les objets suivants puissent être considérés comme des « points » : •

une locomotive en ligne droite,

•

un homme qui se jette d’un pont attaché à un élastique,

•

une sph`ere d’acier au bout d’un fil tr`es long.

Il s’agit d’un modèle ! C’est-à-dire que cela ne peut être qu’une approximation. On verra les limites de ce modèle quand on étudiera la mécanique du corps solide indéformable. Par exemple, si on considère une sphère au bout d’un fil, le modèle du point matériel doit être abandonné quand la longueur du fil est de l’ordre de grandeur du diamètre de la sphère ou quand la précision de la prédiction est poussée assez loin. L’erreur introduite par le modèle du point matériel peut être qualitative au lieu d’être simplement quantitative. C’est le cas du mouvement de la boule de billard. On appelle trajectoire le lieu géométrique des points du référentiel occupés par un point matériel au cours du temps. Soit O un point particulier du référentiel. Soit P la position du point matériel. Notons r le vecteur OP . La fonction r(t) donne la position d’un point matériel en tout temps t. On l’appelle l’´ equation horaire. Prédire r(t) est au fond le but ultime de la mécanique. L’équation horaire est l’équation paramétrique de la trajectoire, o` u le paramètre est le temps. Elle donne plus d’information que la trajectoire : elle dit a quel moment le point matériel atteint un point de la trajectoire ! ` La vitesse vectorielle instantan´ ee se définit très naturellement par une dérivée vectorielle : v(t) = lim

∆t→0

dr r(t + ∆t) − r(t) = ∆t dt

(1.1)

Les fondements de la m´ ecanique

L’interprétation géométrique de cette limite suggère que le vecteur vitesse est (1) tangent ` a la trajectoire (fig. 1.1) . Souvent, on s’autorise en physique à se contenter d’une telle intuition matérielle des choses. Parfois, il faudra se méfier de telles évidences. Mais ici, il n’y a pas de problème tant que le mouvement est régulier, qu’il n’y a pas de choc notamment. x3 r(t+dt)–r(t) r(t)

r(t+dt) O

Fig. 1.1 Accroissement infinit´esimal de r(t).

Par analogie avec la définition de la vitesse, l’acc´ el´ eration vectorielle est donnée naturellement par dv a= dt Cependant, il faut faire attention : l’accélération ne se visualise pas aussi bien que la notion de vitesse) ! Comme la figure 1.2 le suggère, quand une vitesse x3 v(t)

r(t)

a(t)dt v(t+dt)

r(t+dt) O

Fig. 1.2 Accroissement a(t) dt de v(t).

(1)

La cin´ ematique utilise la g´ eom´ etrie analytique. Cependant, il est suppos´ e ici que l’´ etudiant n’a pas encore re¸cu ce bagage math´ ematique. Son intuition est sollicit´ ee pour ´ eviter une surcharge.

Les lois de Newton

change de direction, il y a accélération, même si la vitesse ne change pas de module. Plus loin, on l’exprimera de fa¸con mathématique (sect. 1.6). Unités

Il est bon, en particulier dans la manipulation d’expressions algébriques représentant des grandeurs physiques, de veiller à garder la cohérence des unités. On se souviendra que la vitesse a les unités d’une longueur divisée par un temps, l’accélération celles d’une longueur divisée par le carré d’un temps. Une conférence internationale réunit à Paris, tous les quatre ans, les délégués des Etats membres d’une association appelée « La convention du Mètre ». La norme internationale ISO 1000 (ICS 01 060) définit les unités du Système international (SI) et stipule les recommandations pour l’emploi de multiples des unités de base. Dans le système international d’unités : vitesse

m s m [a] = 2 s

[v] =

acc´el´eration

m s−1 m s−2

Applications

Pratiquement, on calcule les composantes de la vitesse et de l’accélération sur un système d’axes cartésiens de coordonnées. Pour obtenir formellement les composantes d’une grandeur vectorielle, on utilise un repère, défini à la section 2.2. On résume au paragraphe 2.2.1 les règles de calcul vectoriel qui seront les plus utilisées en mécanique. La projection d’un vecteur sur un axe de coordonnée peut se faire par inspection d’un dessin ou par calcul (§ 2.2.2). Le cas particulier du mouvement rectiligne est examiné au paragraphe 2.2.3. Le mouvement rectiligne uniforme (MRU) est important du point de vue conceptuel, comme on le verra avec la première loi de Newton. Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) est important du point de vue pratique puisqu’il intervient dans la chute des corps dans le champ de la pesanteur.

1.3

Les lois de Newton

La cinématique peut aller très loin dans la démarche qui consiste à interroger la Nature dans un langage mathématique. Cependant, le but ultime de la mécanique est de prédire le mouvement de corps soumis à certaines forces, ou d’étudier ces forces en analysant le comportement d’objets qui y sont soumis [6]. Trois lois physiques, énoncées par Newton [7] dans ses Principia (fig. 1.3), fournissent les bases de ce programme qu’on appelle la dynamique. La mise en forme systématique, logique et déductive de la mécanique par Newton constitue un moment charnière du développement de la science moderne. Newton commence par un commentaire sur le temps et l’espace (sect. 3.3). Ensuite, Newton introduit deux définitions. La première, celle de

3.1

Les fondements de la m´ ecanique

Fig. 1.3 Les Principia de Newton.

la quantité de matière, peut paraˆıtre triviale. Mais elle permet de mieux faire comprendre la deuxième : la quantité de mouvement. La quantité de matière : masse d’inertie

La masse représente la quantité de matière. On dit que c’est une grandeur extensive. Cela veut dire que la valeur de cette grandeur pour un système formé de deux sous-systèmes est la somme des valeurs de cette grandeur dans chaque sous-système. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, la masse est aussi une grandeur conserv´ ee. La perte ou le gain de masse d’un système est égal ` a la quantité de masse qui quitte le système ou qui y entre, respectivement. De plus, la masse d’un système qui n’échange pas de masse avec l’extérieur est une constante, qui ne dépend ni de l’état du système, ni du référentiel. Le système international utilise le kilogramme comme unité de masse. La masse étalon définissant le kilogramme est un barreau de platine iridié gardé au Bureau International des Poids et Mesures, à Sèvres, près de Paris. Il faut convenir d’une méthode pour comparer un object quelconque et l’étalon. Pour le présent exposé de principe, la méthode doit être conceptuellement claire, sa réalisation pratique importe peu. On utilise souvent en physique le terme de « Gedankenexperiment » pour se référer à une telle expérience « virtuelle », mais conceptuellement importante. La méthode [8] invoquée ici (fig. 1.4) définit ce que l’on appelle plus précisément la masse d’inertie. On dispose d’un banc ` a air qui rend les effets de frottement négligeables. On cherche ` a vérifier l’égalité de la masse d’un plot quelconque à celle d’une copie de l’étalon de masse. Un ressort relie les deux plots. On admet que les masses sont égales si le milieu du ressort reste immobile quand le système des deux masses oscille après avoir laissé le ressort se détendre d’une position comprimée au repos par rapport au rail (fig. 1.4). Dans le cas d’une distribution continue de masses, on peut définir la densité de masse ` a la position x : ρ(x) = lim

∆v→O

∆M (x) ∆v(x)

Les lois de Newton

Fig. 1.4 Expérience avec le rail a ` air. On imagine qu’un dispositif placé entre deux plots du rail a ` air génère une détente qui libère les deux plots en les poussant loin l’un de l’autre.

La quantit´e de mouvement

Une grande idée, attribuée à Newton, est celle d’associer au mouvement une grandeur vectorielle extensive qui caractérise l’état du mouvement. On (2) appelle cette grandeur quantit´ e de mouvement . Il est impossible, à ce stade, de réaliser pleinement la validité de cette démarche. La notion de quantité de mouvement persistera, en effet, en mécanique relativiste et en mécanique quantique ! Dans le cadre de la mécanique classique, newtonienne, le bien-fondé de la notion apparaˆıtra bientˆ ot, lorsqu’on verra que la quantité de mouvement d’un système isolé est conservée. On verra alors, dans des expériences de chocs par exemple, qu’un objet peut transférer tout ou partie de sa quantité de mouvement ` a un autre. 1.3.1

Première loi de Newton et référentiel d’inertie

La cinématique commence par la définition d’un mouvement par rapport ` un référentiel. La question se pose naturellement de savoir si n’importe quel a référentiel peut être choisi. La première loi de Newton, dite loi d’inertie, répond a cette question. En effet, elle stipule : ` « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite ` a moins que quelque force n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état. » On note que pour Newton, l’absence de force est un concept évident. La notion de mouvement uniforme dépend du référentiel choisi. Par définition, on appellera r´ ef´ erentiel d’inertie tout référentiel par rapport auquel le principe d’inertie est vérifié. En ce sens, la première loi est en fait une définition du référentiel d’inertie. La nature de l’expérience considérée ou le degré de précision des observations entre en jeu dans l’évaluation du référentiel en tant que référentiel d’inertie. Par exemple, si nous voulons décrire un objet lancé à quelques mètres (2)

En anglais : linear momentum.

Les fondements de la m´ ecanique

dans le champ de la pesanteur, il suffit de considérer la Terre comme un référentiel d’inertie. En revanche, si nous voulons décrire le pendule de Foucault (§ 2.16.2), il est immédiatement manifeste que la Terre ne satisfait pas le principe d’inertie. On peut aussi conduire des mesures extrêmement précises de la chute des corps et constater là également une déviation par rapport à la prédiction qui présuppose que la Terre est un référentiel d’inertie. La notion de force

Newton pose la définition suivante : une force imprimée est une action exercée sur un corps, afin de lui modifier son état, que ce soit un état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. Si des actions différentes ont le même effet sur un point matériel, on dira que la même force agit. On conviendra ici d’une mesure de la force. Si un point matériel est sujet à une force donnée, on admet qu’on peut la mesurer avec un dynamomètre relié par un fil au point matériel, le point matériel étant maintenu immobile par l’action du dynamomètre. La direction du fil donne la direction de la force et la valeur lue sur le dynamomètre, son intensité. 1.3.2

Deuxi`eme loi de Newton pour le point mat´eriel

Selon Newton : « Les changements de mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprimée ` a l’objet. » Dans le langage moderne, il faut comprendre que si F est la force appliquée, F ∆t est la « force motrice » invoquée par Newton, ∆t étant le temps pendant lequel F agit. Comme Newton a décidé d’introduire l’état du mouvement donné par la quantité de mouvement du système, le « changement du mouvement » est a comprendre comme le changement de la quantité de mouvement du système. ` Dans le formalisme vectoriel moderne, cette loi s’exprime par dp =F dt

(1.2)

o` u F est la somme des forces appliquées sur le point matériel. On se souvient qu’on a déj` a spécifié le référentiel (par la première loi). Pour compléter la description de la dynamique, il faut encore établir le lien entre la quantité de mouvement et la vitesse. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, on pose simplement p = mv. On est guidé en cela par deux considérations. D’une part, il semble raisonnable que la quantité de mouvement dépende de la quantité de matière : p = p(m). Comme ces deux grandeurs sont extensives, on doit avoir pour k masses m de même vitesse : p(km) = kp(m). En dérivant cette expression par rapport à k, on a m

∂p(km) = p(m) ∂(km)

et, avec k = 1, on obtient que p est proportionnel `a m.

Action et r´ eaction

D’autre part, on considère des expériences avec des collisions sur un banc ` air, entre des plots qui restent assemblés quand ils se percutent. Dans la dia rection du banc, il n’y a pas de force extérieure appliquée au système formé des deux plots. On doit donc supposer que la quantité de mouvement du système total ne change pas. C’est une propriété générale qui sera formellement introduite avec la troisième loi de Newton. Considérons alors une expérience o` u deux plots de même masse sont lancés l’un contre l’autre avec des vitesses égales et opposées. On admet que dans cette configuration, on doit avoir une quantité de mouvement totale nulle. Un dispositif garde les deux plots ensemble après leur collision. Si l’ensemble ne bouge plus, on vérifie qu’on avait bien des quantités de mouvement égales et opposées. Dans une deuxième expérience, on diminue de moitié la masse d’un des plots. On observe qu’il faut le lancer avec une vitesse deux fois plus grande pour que le système couplé après le choc soit immobile. Ainsi, par la considération d’expériences de cette nature, on admettra que dans le cadre de la mécanique newtonienne, on a p = mv. Lorsque p = mv et m est constante, la deuxième loi donne la formule bien connue : F = ma

(1.3)

Newton pouvait, ` a l’aide d’un dynamomètre par exemple, appliquer une force constante ` a un objet assimilable à un point matériel et en mesurer l’accélération. Il observait que le rapport de la force sur l’accélération était très précisément égal ` a la masse. La deuxième loi de Newton est plus générale que sa formule familière F = ma, puisqu’elle permet de traiter le cas d’une masse qui dépendrait du temps (§ 2.17.2). On note qu’elle ne présuppose pas la relation p = mv. La relativité restreinte mettra en question cette relation entre p et v (§ 1.24.2), mais pas la deuxième loi de Newton dans son expression en termes de quantité de mouvement. Application

A la section 2.3 on applique les lois de Newton `a l’analyse du mouvement d’un point mat´eriel dans le champ de la pesanteur : la balistique.

1.4

Action et r´eaction

Selon Newton : « “A toute action, il y a toujours une réaction égale qui lui est opposée”; autrement dit, les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et opposées. » Dans sa version moderne, la troisième loi évoque une propriété générale des forces [9]. Les forces élémentaires entre deux particules sont égales, opposées et, de plus, elles sont parallèles au segment porté par les deux particules. L’expression mathématique de cette propriété est établie dans la section sur

4.1

Les fondements de la m´ ecanique

les lois de conservation (§ 1.17.4). Quand Newton dit « A toute action, il y a toujours une réaction égale qui lui est opposée », il pense à des situations physiques simples comme un doigt qui s’appuierait contre une table ou une pierre tirée par une corde. La figure 1.5 illustre une telle situation. Le système est virtuellement décomposé en deux parties, la partie ôtée est remplacée par la force qu’elle exer¸cait sur la première. Cette force est appelée une contrainte ou force intérieure.

F 2 →1

F 1→ 2

Fig. 1.5 Forces d’interaction entre deux poids.

Décomposons ce système en deux sous-systèmes séparés équivalents, en rempla¸cant l’effet de l’autre sous-système par les forces F 2→1 et F 1→2 . La troisième loi dit : F 1→2 + F 2→1 = 0 Si un tel système composé de deux sous-systèmes en interaction est isolé, alors la résultante des forces est nulle. On déduit alors de la deuxième loi de Newton (1.2) la conservation de la quantit´ e de mouvement. Une application de ce principe de conservation sera vue à la section 2.12. La généralisation a un système de points matériels sera étudiée à la section 2.17. ` Composition des forces

Newton pose aussi la règle d’addition des forces exercées sur un point. Elle (3) avait été établie expérimentalement par les expériences de Stevin (fig. 1.6). Les dynamomètres A et B ont la même action que le dynamomètre C. On ob(3)

Simon Stevin (1548-1620). C’est lui, qui, vingt ans plus a ˆg´ e que Galil´ ee, avait fait l’exp´ erience de la chute des corps, d´ emontrant que le temps de chute est ind´ ependant de la masse. Les objets lˆ ach´ es simultan´ ement d’une hauteur de 30 pieds tombaient sur une planche. Le son permettait de d´ etecter l’instant de la chute.

Objectifs de la dynamique

Fig. 1.6 L’expérience de Stevin constitue une mesure de la composition de deux forces : la somme des trois forces en P doit être nulle, l’action de la force C est donc égale a ` l’action des forces A et B.

serve que la force donnée par C peut s’évaluer par la règle d’addition vectorielle (fig. 1.7). A chaque dynamomètre on associe un vecteur dans la direction de la force, dont le module vaut la valeur lue sur le dynamomètre. Quand les forces sont immédiatement associées à des vecteurs, comme cela vient naturellement a l’esprit ` ` a notre époque, la loi d’addition des forces paraˆıt triviale. Mais ce n’était pas le cas au temps de Galilée !

a p

c b

Fig. 1.7 Repr´esentation vectorielle de la composition des forces.

Après des siècles de pratique, on dit « les forces sont des vecteurs ». Bien sˆ ur les forces ne sont pas des vecteurs, ce sont des forces. Leur représentation en vecteur est parfaitement valable car elle est prédictive. En fait, il faudra attendre J. W. Gibbs et O. Heaviside au xixe siècle pour avoir une description de la mécanique en termes de calcul vectoriel [9] ! « En science, réputée être la fille de la logique et de la raison pure, on remarque, peut-être avec surprise, que la sage-femme doit y accomplir un acte de création. » [10] Application

Fort de la loi de composition des forces, on peut analyser comment les forces de frottement modifie la balistique (sect. 2.4).

1.5

Objectifs de la dynamique 5.1

Le choix d’un référentiel, d’un système de coordonnées, d’un repère pour projeter toutes les grandeurs vectorielles, et l’application des lois de la dyna-

Les fondements de la m´ ecanique

mique permettent de prédire l’évolution du système mécanique. On convient d’appeler ´ equations du mouvement les équations d’évolution d’un système mécanique donné quand celles-ci sont dans leur forme finale, c’est-à-dire qu’aucune substitution supplémentaire n’est nécessaire, aucune contrainte sur les variables ne reste ` a imposer, en d’autres termes quand elles sont prêtes à une intégration numérique, par exemple. Il est important de réaliser que les équations du mouvement seules génèrent une famille de mouvements possibles. La situation est évidente en balistique : on peut avoir un mouvement vertical ou bien une parabole. Le type de mouvement qu’on obtient peut varier, non pas parce que la dynamique change (de nouvelles forces ne sont pas introduites), mais parce que des conditions initiales particulières sont choisies. Ces conditions initiales sont données en spécifiant, a un instant donné (pas forcément t = 0), la vitesse et la position du point ` matériel. On appelle ´ equation horaire du point matériel la donnée de sa position en fonction du temps, comme en (2.4) à la section 2.3. La trajectoire d’un point matériel est le lieu géométrique des points du référentiel par lequel le point a passé lors de son mouvement. On peut voir l’équation horaire comme une ´ equation param´ etrique de la trajectoire, o` u le temps t joue le rˆ ole du paramètre. La marche à suivre

La mécanique est l’occasion d’apprendre à aborder un problème de physique de fa¸con rationnelle et systématique. Cette démarche, illustrée plus loin à la section 2.3 peut être décomposée en quelques étapes essentielles : 1) 2) 3) 4) 5) 6)

choix du référentiel, choix du système de coordonnées, modèle de force, loi de la dynamique, équations du mouvement, intégration des équations du mouvement.

Application

Cette même approche est adoptée à la section 2.5 pour présenter un système mécanique d’une importance fondamentale : l’oscillateur harmonique.

1.6

Acc´el´eration normale et tangentielle

6.1

Deux vecteurs unités jouent un rôle particulier en cinématique du point. Ils sont liés au point matériel et dépendent de son mouvement. Pour les définir, on doit introduire une mesure du chemin parcouru sur la trajectoire. On considère une trajectoire sur laquelle on définit une origine O et une orientation. On

Acc´ el´ eration normale et tangentielle

appelle abscisse curviligne s du point matériel P la distance mesurée le long de la trajectoire, ` a partir du point O, avec le signe positif ou négatif suivant que P est atteint dans le sens de l’orientation ou son opposé (fig. 1.8).

Fig. 1.8 Abscisse curviligne s.

La vitesse scalaire est ds ee par l’odomètre dt = v. C’est la vitesse indiqu´ d’une voiture. Si la trajectoire est donnée de fa¸con paramétrique comme une fonction de s, r = r(s) avec s = s(t), alors la vitesse vectorielle peut s’écrire v=

dr dr ds dr = =v dt ds dt ds

Posons τˆ = dr ˆ est un vecteur unit´e. En effet, par inspection ds . Le vecteur τ du dessin (fig. 1.9) il apparaˆıt `a la limite dt → 0 : |dr| = |ds| donc

dr |dr|

ds |ds| = 1 ds dr

r(t)

r(t+dt)

Fig. 1.9 El´ement d’arc ds et accroissement dr.

Pour l’accélération, la dérivation fait apparaˆıtre deux termes : a=

dv d dˆ τ v τˆ = τˆ + v dt dt dt

Le premier terme est l’acc´ el´ eration tangentielle : dv ˆ. Le deuxième terme dt τ dˆ τ v dt est appelé l’acc´ el´ eration normale. Elle est normale à la tangente à la trajectoire. En effet, puisque τˆ · τˆ = 1, on a d dˆ τ τˆ · τˆ = 0 = 2ˆ τ· dt dt τ C’est dire que dˆ ` τˆ. Cette analyse aboutit à la notion dt est perpendiculaire a suivante : quand une vitesse change de direction sans changer d’amplitude

Les fondements de la m´ ecanique

(vitesse scalaire constante), il y a accélération. La conséquence en dynamique sera cruciale car cela voudra dire qu’une force agit ! En traitant τˆ comme une fonction de s, on peut écrire dˆ τ dˆ τ ds dˆ τ =v = v2 dt ds dt ds La géométrique analytique fournit le résultat :

dˆ

τ = 1

ds R v

o` u R est le rayon de courbure. Donc, l’accélération normale vaut vR . On peut comprendre le sens de cette formule par l’argument suivant. Il faut d’abord se convaincre de l’approximation d’une courbe infinitésimale par un arc de cercle. C’est une approximation du deuxième ordre. Sur ce cercle, le vecteur tangent subit une rotation d’angle dθ entre t et t + dt (fig. 1.10) : dθ dˆτ τˆ(t)

dθ

ˆτ(t+dt)

Fig. 1.10 Accroissement infinit´esimal dˆ τ = τˆ(t + dt) − τˆ(t).

L’´el´ement d’arc vaut ds = R dθ et dˆ τ = 1 dθ. Il vient ainsi :

dˆ

τ dθ 1 1

τ = dˆ = =

|ds| R dθ R τ On note n ˆ le vecteur unité parallèle à dˆ e τˆ et n ˆ, dt . Avec les deux vecteurs unit´ on peut rendre explicite les deux contributions à l’accélération vectorielle ainsi obtenue : dv v2 a= τˆ + n ˆ (1.4) dt R

Application

Un mouvement important en mécanique est le mouvement circulaire uniforme. On le décrit ` a la section 2.6 en coordonnées cartésiennes, ce qui fait apparaˆıtre un nouvel exemple de mouvement harmonique.

7.1

1.7

Coordonn´ees cylindriques et sph´eriques

Il se peut que les coordonnées cartésiennes ne soient pas les plus commodes pour décrire la position d’un point matériel. C’est notamment le cas lorsqu’on veut décrire un mouvement sur une sphère ou un cylindre.

Coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques

Les coordonn´ ees cylindriques sont ρ, φ, z définies dans la figure 1.11. La relation entre coordonnées cartésiennes et cylindriques s’obtient immédiatement par inspection de la figure 1.11. x1 = ρ cos φ x2 = ρ sin φ x3 = z Utiliser les coordonnées cylindriques pour décrire le mouvement d’un point matériel signifie que l’équation horaire est donnée par ρ = ρ(t) φ = φ(t) z = z(t) x3

point matériel

z O φ

θ O

Fig. 1.11 Coordonn´ees cylindriques.

Fig. 1.12 Coordonn´ees sph´eriques.

La position d’un point matériel peut être donnée alternativement par les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, φ) définies par la figure 1.12. La relation entre les coordonnées cartésiennes et sphériques est donnée par x1 = r sin θ cos φ x2 = r sin θ sin φ x3 = r cos θ Le mouvement du point matériel en coordonnées sphériques est donné par r = r(t) θ = θ(t) φ = φ(t) On va maintenant définir un repère lié au point matériel. Il sera alors bien clair que ce repère n’est pas notre référentiel ! L’orientation de ce repère est donnée par les lignes de coordonnées. Une ligne de coordonn´ ee est le lieu géométrique des points qui ont deux coordonnées de valeurs fixes. Cette ligne de coordonnée est orientée dans le sens

7.4

Les fondements de la m´ ecanique

x3 x3

(q,f)

(r,f)

(q,r)

(r,z)

(r,f) (z,f) O

f x1

Fig. 1.13 Lignes de coordonn´ees pour les coordonn´ees cylindriques.

Fig. 1.14 Lignes de coordonnées pour les coordonnées sphériques.

des valeurs croissantes de la coordonnée variable. Les lignes de coordonnées des coordonnées cylindriques et sphériques sont indiquées dans les figures 1.13 et 1.14. Des considérations géométriques simples suffisent à montrer que les vecteurs tangents ` a chaque ligne de coordonnées sont orthogonaux. Il suffit alors de prendre des vecteurs tangents de norme 1 pour former le rep` ere associ´ e au syst` eme de coordonn´ ees choisi (fig. 1.15). x3

er eφ

eφ eρ O φ

θ O

eθ

ρ x1

Fig. 1.15 Repères associés aux coordonnées cylindriques et sphériques.

Application

On verra qu’il est souvent bénéfique d’utiliser les coordonnées cylindriques ou sphériques, notamment pour tirer profit des symétries du système considéré et simplifier les équations. Dans ce cas, il faudra connaˆıtre les composantes de

Rotations

la vitesse et de l’accélération dans le repère associé à ces coordonnées, qui sont données ` a la section 2.7.

1.8

Rotations

On fait ici appel ` a la notion élémentaire de rotation comme la transformation géométrique définie par un axe et un angle. En invoquant le mouvement du tire-bouchon correspondant à sa rotation dans le sens croissant de l’angle, on définit une orientation ` a l’axe de rotation. Cette notion de rotation, bien que familière à tous, demeure difficile à manipuler quand elle est exprimée sous forme mathématique. Et pourtant, elle est centrale en mécanique. On peut bien s’imaginer que le mouvement d’un solide nécessite une description des rotations. En fait, la notion de rotation intervient aussi en cinématique du point matériel, pour la raison suivante. L’expression d’un problème de mécanique est souvent simplifiée si le repère choisi est en mouvement. C’est le cas notamment lorsqu’on travaille avec des coordonnées cylindriques ou sphériques. Or, le théorème d’Euler affirme que tout changement d’orientation d’un repère dont l’origine est fixe est une rotation (problème 5.1). Rotations infinitésimales En mécanique, nous aurons affaire à des repères qui évoluent au cours du temps. Pour le calcul des dérivées temporelles, il faudra considérer le repère à l’instant t et t + dt. Entre t et t + dt, le repère aura subit une rotation infinitésimale, c’est-` a-dire que l’angle de rotation sera infiniment petit (problème 5.3). D’une manière générale, une matrice de rotation infinitésimale doit avoir la forme 1 + ε o` u 1 désigne la matrice identité   1 0 0 0 1 0 0 0 1 La matrice ε n’a que des éléments infiniment petits ou nuls. En général, la composition des rotations se calcule comme le produit des matrices des rotations correspondantes (problème 5.2). Dans le cas de rotations infinitésimales, nous avons le résultat simple suivant : (1 + ε1 )(1 + ε2 ) = 1 + ε1 + ε2

(1.5)

On a négligé les termes supérieurs au premier ordre. Par conséquent, à la composition des rotations infinitésimales correspond l’addition des matrices ε correspondantes. Ce résultat implique que la transformation inverse est immédiate : (1 + ε)−1 = 1 − ε. En effet, au premier ordre, on a (1 + ε)(1 − ε) = 1 + ε − ε = 1.

8.1

Les fondements de la m´ ecanique

Formules de Poisson Dans le cadre de la cinématique, on s’intéresse à l’évolution temporelle des vecteurs unités d’un repère. Considérons un repère A, e ˆ1 , e ˆ2 , e ˆ3 avec A fixe. Soit 1 + ε la matrice qui décrit la rotation de ce repère entre un temps t et t + dt. On a e î (t + dt) = (1 + ε) e î (t) e î (t + dt) − e î (t) = ε e î (t) Les éléments de matrice de ε sont nuls ou proportionnels à dt. On peut donc écrire ε = dt E o` u les éléments de E sont finis. Il vient alors : e î (t + dt) − e î (t) = dt E e î (t) Par conséquent, la dérivée des vecteurs unités peut s’écrire X X dˆ ei T = Ee î = Eji e ˆj = Eij e ˆj dt j j La matrice E doit avoir des propriétés particulières, du fait qu’elle est directement liée ` a une rotation. Le fait que la norme des vecteurs unités soit conservée et que les angles entre les vecteurs unités soient aussi constants implique : d 0= e î · e ˆj = e î · E e ˆj + e ˆj · E e î = Eij + Eji dt Ainsi la matrice E T doit avoir la forme   0 E12 E13 0 E23  E T = −E12 −E13 −E23 0 Il n’y a que trois coefficients qui déterminent cette transformation. Par convention, ces trois coefficients sont notés comme suit :   0 ω3 −ω2 0 ω1  E T = −ω3 ω2 −ω1 0 C’est cette convention qui impose qu’on ne travaille qu’avec des repères orthonormés directs. On considère maintenant l’évolution d’un vecteur r = AP rigidement lié au repère A, e ˆ1 , e ˆ2 , e ˆ3 . Parce qu’il est rigidement lié, ses composantes (r1 , r2 , r3 ) sont indépendantes du temps. L’évolution temporelle de r est donc donnée par X X dr d = r1 e ˆ1 + r2 e ˆ2 + r3 e ˆ3 = ri Eji e ˆj dt dt i j      0 −ω3 ω2 r1 −ω3 r2 + ω2 r3 dr  ω3 0 −ω1  r2  =  ω3 r1 − ω1 r3  = dt −ω2 ω1 0 r3 −ω2 r1 + ω1 r2

Rotations

On reconnaˆıt ici un produit vectoriel pour autant qu’on pose l’existence d’un vecteur :   ω1 ω = ω2  (1.6) ω3 On a ainsi pour tout vecteur li´e au rep`ere en rotation : dr =ω∧r dt

(1.7)

En prenant pour r dans (1.7) chacun des vecteurs unités du repère, on arrive ` a la proposition suivante. Proposition 1.1 Formules de Poisson. Soit un repère A, e ˆ1 , e ˆ2 , e ˆ3 qui change son orientation dans le temps. Il existe un vecteur ω tel que dˆ ei =ω∧e î dt

(i = 1, 2, 3)

(1.8)

On appelle ces relations les formules de Poisson (fig. 1.16). On va s’y référer très souvent. On appelle ω le vecteur de vitesse angulaire (d’autres auteurs utilisent le terme vecteur instantané de rotation) [9].

Fig. 1.16 Sim´eon Denis Poisson (1781-1840), physicien math´ematicien, professeur a ` l’Ecole Polytechnique, Paris.

Application

Dans la pratique, on a une rotation donnée et le vecteur de vitesse angulaire s’obtient immédiatement, comme indiqué à la section 2.8. La description du mouvement circulaire uniforme peut se faire sous forme vectorielle (exemple 2.3, p. 103).

Les fondements de la m´ ecanique

1.9 9.1

Contraintes g´eom´etriques

Forces de liaison La cinématique en coordonnées cylindriques et sphériques (sect. 1.8) permet d’aborder des problèmes de mécanique à trois dimensions pour des points matériels dont le mouvement est soumis à des liaisons, aussi appelées contraintes. Il peut s’agir d’un point matériel astreint à se déplacer sur un cylindre ou sur un cˆ one, par exemple. On peut voir le mouvement d’un pendule oscillant dans un plan vertical comme celui d’un point matériel astreint à se déplacer sur un cercle dans un plan vertical. Ces problèmes de points matériels soumis à des contraintes géométriques permettent de voir l’appareillage cinématique (sect. 1.2) se mettre en place pour arriver aux équations différentielles du mouvement avec des coordonnées autres que les coordonnées cartésiennes. On analyse ainsi par exemple les oscillations des pendules que Galilée avait étudiées expérimentalement (sect. 2.9). On voit ainsi que l’isochronicité dont se réclamait Galilée n’est vraie que dans la limite des petites oscillations. On voit aussi formellement que l’observation de Galilée, selon laquelle la période est indépendante de la masse, implique que la pesanteur est proportionnelle ` a la masse. Ces liaisons sont donc des contraintes géométriques. Il faut y voir une modélisation qui évacue les détails techniques d’une réalisation physique particulière du dispositif modélisé. Par exemple, pour un point matériel pesant, astreint à se déplacer sur un cylindre d’axe horizontal, on ignore la question de savoir si le point matériel est posé sur ou dans le cylindre. On suppose simplement qu’il y a un mécanisme idéal qui permet au point matériel de glisser sans frottement sur la surface.

9.3

Fig. 1.17 Mesure de la force de tension de la corde d’un pendule.

Energie, puissance, travail

Cependant, ` a toute liaison est associée une force dite force de liaison. Les forces de liaison évoluent au cours du temps de fa¸con à maintenir le mouvement compatible avec les liaisons imposées. Ces forces de liaison correspondent aux forces qui matérialisent cette contrainte. Par exemple, en montant un dynamomètre au point de suspension d’un pendule (fig. 1.17), l’évolution temporelle de la force de liaison, exercée par le fil, apparaˆıt clairement. Si un point est astreint a se déplacer sur une surface, la force de liaison est normale à la surface. Une ` composante tangentielle représenterait une force de frottement, ce qui est autre chose. Application

L’appareillage cinématique développer jusqu’ici permet d’aborder toute une classe de problèmes caractérisés par la présence d’une contrainte. On traite à titre d’exemple le pendule mathématique à la section 2.9.

1.10

Energie, puissance, travail

On considère un point matériel, de vitesse v soumis à une force F . On appelle puissance instantan´ ee de la force F la grandeur P =F ·v

(1.9)

On considère connue l’équation horaire r(t) d’un point matériel qui subit une force F (fig. 1.18). Le travail de la force F pendant l’intervalle de temps [t1 , t2 ] est défini par Zt2 W12 =

Zt2 P (t) dt =

F (t) · v dt t1

1 r (t) r (t + Dt)

Fig. 1.18 Trajectoire entre deux points marqu´es 1 et 2, et deux positions interm´ediaires sur la trajectoire.

10.1

Les fondements de la m´ ecanique

On considère maintenant le cas particulier d’une force qui dépend de la position. On peut la décrire par la fonction F (r). R Dans ce cas, l’intégrale qui fournit le travail de F peut être écrite : W = Γ F (r) · dr, o` u Γ désigne la trajectoire. On sous-entend ici que l’intégrale est effectuée pour le chemin que parcourt le point matériel. C’est une intégrale dite « curviligne ». La manière d’effectuer une telle intégrale appartient à un cours de mathématiques. Son sens physique, lui, est intuitif. Elle exprime une somme de travaux de la force dans des déplacements infinitésimaux le long de cette trajectoire. On les notera δW . Cette notation ne veut pas dire qu’il s’agisse d’une opération mathématique sur une fonction W ! Ce travail infinitésimal vaut δW = F · dr. Le produit scalaire F · dr implique que la composante de la force normale à la trajectoire ne travaille pas. C’est la projection de F (fig. 1.19) sur la tangente a la trajectoire qui travaille : ` δW = F · dr = |F | |dr| cos θ

F q r (t)

trajectoire

F cos q

r (t + dt)

Fig. 1.19 Force appliqu´ee en un point r(t) et sa projection sur la trajectoire.

Le travail fourni par la force pour aller d’un point r 1 à un point r 2 sur la trajectoire s’obtient naturellement en sommant les contributions δW de chaque déplacement dr le long de la trajectoire. En prenant la limite, on a une intégrale le long de la trajectoire. Soit un point matériel de masse m, de vitesse v. On appelle ´ energie cin´ etique de ce point matériel la grandeur T =

1 mv 2 2

Proposition 1.2 Théorème de l’énergie cinétique. Soit F la somme des forces exercées sur un point matériel. Le travail des forces quand le point matériel va d’un point r(t1 ) ` a l’autre r(t2 ) de la trajectoire est égal au changement de l’énergie cinétique du point matériel entre ces deux temps : Zt2 T2 − T1 =

F · v dt = W12 t1

Avec la deuxi`eme loi de Newton, on a

´monstration. De Zt2

Zt2 F · v dt =

Zt2 ma · v dt =

m t1

dv · v dt dt

(1.10)

Potentiel d’un force et ´ energie potentielle

Zt2

dv m v dt = dt

Zt2

d dt

1 1 mv 2 dt = mv 2

= T2 − T1 2 2 1

Remarque. Il est bon ` a ce point de résumer les unités des grandeurs physiques introduites en mécanique et leurs noms usuels : longueur vitesse accélération force travail, énergie puissance

m m s−1 m s−2 kg m s−2 kg m2 s−2 kg m2 s−3

newton joule watt

On prendra note que le « kilowattheure » utilisé en technique, est une unité d’énergie. Il est bon de vérifier souvent que les unités des expressions sont cohérentes, car c’est une excellente manière de s’assurer qu’une faute n’a pas été introduite lors de manipulations algébriques. Application

On a vu deux implémentation du modèle de l’oscillateur harmonique : la masse au bout d’un ressort et le pendule mathématique dans la limite des petites oscillations. On peut changer notoirement l’énergie de ces systèmes en appliquant une force oscillante dans le temps, pour autant que sa fréquence soit proche de celle de l’oscillateur libre. C’est le phénomène de résonance, décrit à la section 2.10.

1.11

Potentiel d’un force et ´energie potentielle

Si la force dépend de la position, on peut se demander si on peut définir une fonction de la position, V (r) associée à la force F telle que : Z2 W12 =

F · dr = V (r 1 ) − V (r 2 ) 1

Si c’est le cas, cette fonction est appelée potentiel associé à la force. En d’autres termes, on aimerait savoir si on peut définir une fonction de la position seulement, V (r), et d’une position de référence r s , avec Zrs V (r) =

F · dr r

11.1

Les fondements de la m´ ecanique

Proposition 1.3 Critère d’existence du potentiel. La condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un potentiel associé a ` une force F donnée est que le travail sur tout chemin fermé (une boucle) est nul : I F · dr = 0 ´monstration. Comme V (r) est défini comme un travail pour aller de r De a une position de référence, il faut que le travail de la force pour aller d’un point ` a un autre ne dépende pas du chemin, mais seulement des point de départ et ` d’arrivée. Si l’intégrale sur toute boucle est nulle, toutes les variantes dans le calcul du travail de la force pour aller d’un point à un autre donnent le même (4) résultat . Le travail ne dépend effectivement que des deux positions données. Dans les situations simples discutées dans une introduction à la mécanique, l’intuition suffit ` a se convaincre de l’existence du potentiel ou pas. Il est facile de voir par exemple que la pesanteur satisfait cette condition. Ce n’est pas le cas d’une force de frottement, bien évidemment. Si le potentiel existe, il suffit d’opérer une intégration sur un chemin particulier pour trouver le potentiel, connaissant la force. On appelle force conservative une force pour laquelle un tel potentiel existe. Proposition 1.4 Conservation de l’énergie. Si toutes les forces sont conservatives, la grandeur E =T +V (1.11) est une constante du mouvement. ´monstration. De Z2 W12 =

F · dr = 1

Zrs F · dr + 1

F · dr = V1 − V2 rs

et le théorème de l’énergie cinétique donne T2 − T1 = V1 − V2 d’o` u T2 + V2 = T1 + V1 . On conviendra d’appeler ´ energie m´ ecanique totale la quantité E = T + V . Cela présuppose bien sˆ ur que V soit défini ! On appelle ´ energie potentielle la contribution V à l’énergie du point matériel. (4)

A titre indicatif, on notera que les math´ ematiques fournissent une condition ´ equivalente : rot F = ∇ ∧ F = 0.

Collisions

Proposition 1.5 Calcul de la force ` a partir de son potentiel. Si V (r) existe, alors les projections de la force sur un repère cartésien du référentiel sont données par X ∂V F = − ei ∂xi i ´monstration. L’élément de travail F · dr est celui d’un chemin infinitéDe simal allant d’un point en r a` un point en r + dr : F · dr = −V (r + dr) + V (r). Prenons dr = ∆èi o` u ei est un vecteur unité porté par l’axe cartésien de la coordonnée xi : F · dr = ∆`F · ei = Fi ∆` = −V (r + ∆èi ) + V (r) = −

∂V ∆` ∂xi

La dernière égalité applique la définition de la dérivée partielle. On note F = − grad V ou F = −∇V cette opération de dérivation par (5) rapport aux coordonnées cartésiennes . Exemple 1.1 Mouvement rectiligne On considère un point matériel astreint à se déplacer sur une droite et soumis ` a la force F (x). F (x) s’obtient immédiatement par dérivation du potentiel. En effet, de Zx V (x) = −

F x0 dx0

on tire F (x) = − dV dx . Application

L’énergie d’un oscillateur harmonique amorti est étudiée à titre d’exemple a la section 2.11. `

1.12

Collisions

On dit qu’il y a collision quand deux ou plusieurs objets se rapprochent et subissent une interaction mutuelle. En règle générale, on présume que les forces d’interaction sont négligeables quand les objets sont suffisamment éloignés. On peut donc distinguer un « avant » et un « après » la collision. Contrairement à l’usage courant du terme, « collision » ici n’implique pas forcément qu’il y ait

(5)

La d´ efinition de cet op´ erateur diff´ erentiel pour tout syst` eme de coordonn´ ees n’est pas n´ ecessaire pour les exemples trait´ es dans ce livre.

12.1

Les fondements de la m´ ecanique

Fig. 1.20 Deux boules de diamètres identiques, une pleine, une creuse. Quand on laisse tomber les deux boules en même temps, la lourde au-dessous de la légère, alors la légère rebondit très haut.

un impact. Ainsi, le problème d’une comète qui passerait au voisinage du Soleil est vu comme une collision. On appelle collision ´ elastique une collision o` u l’énergie cinétique est conservée. Si elle ne l’est pas, la collision est dite in´ elastique. Il faut bien prendre note que seules des conditions très particulières impliquent une collision élastique. Un système mécanique peut avoir des degrés internes de liberté. Imaginons deux plots sur un rail ` a air. L’un d’eux est muni d’un ressort butoir (fig. 1.4). Quand le ressort se comprime, un crochet l’empêche de se détendre à nouveau. Quand les deux plots se percutent, le ressort se comprime. De l’énergie est emmagasinée sous forme d’énergie élastique (celle du ressort). L’énergie cinétique n’est pas conservée. Il en est ainsi pour toute collision qui produit un accouplement des deux objets (fig. 1.21).

12.3

Fig. 1.21 Deux plots, l’un muni d’une pointe, l’autre d’un butoir en pˆ ate a ` modeler. Les plots restent joints apr`es la collision.

Exemple 1.2 Choc totalement inélastique On considère un choc de deux objets sur un banc à air qui restent liés après le choc (fig. 1.22).

Collisions

initial

v=0

vf m

final

Fig. 1.22 Un plot sur le banc a ` air est immobile. Un autre entre en collision avec le premier. Ensuite les deux plots sont accroch´es l’un a ` l’autre.

On néglige les frottements sur le banc à air. Par conséquent on peut considérer que la quantité de mouvement totale des plots est conservée. On considère la quantité de mouvement du système avant et après la collision : • avant : P = mv + 0 ; • apr` es : P = (m + m)v f . Par conséquent : vf =

1 v 2

Si l’énergie cinétique n’est pas toujours conservée, la quantité de mouvement d’une collision entre deux objets isolés l’est nécessairement. En effet, la conservation de la quantité de mouvement d’un système isolé découle des grands principes fondamentaux de la mécanique. La loi de conservation s’étend aux systèmes non isolés mais comportant un plan ou une direction fixe de l’espace dans lesquels les forces peuvent être négligées. C’est le cas notamment d’une table ` a air parfaitement horizontale. Le système n’est pas isolé au sens strict, mais on peut en général négliger les frottements pour décrire des impacts entre plots. Finalement, il faut signaler encore que dans le cas d’un impact, c’est-à-dire lors d’un choc dont la durée est très courte, il est possible d’invoquer la conservation de la quantité de mouvement « juste » à l’impact. Plus formellement, l’argument peut se développer de la manière suivante. On part de la loi généext rale pour un système de point matériel dP . On intègre cette loi sur un dt = F intervalle de durée 2ε autour du temps t de l’impact : Zt+ε t−ε

dP dt = Pfinal − Pinit = dt

Zt+ε F ext dt t−ε

Un cas typique est une collision avec impact entre deux objets dans le champ de la pesanteur. Si F ext varie peu pendant le choc, on peut estimer l’int´egration

Les fondements de la m´ ecanique

par : Zt+ε F ext dt = 2εF ext t−ε

Dans la mesure o` u le choc a lieu dans un temps très court, on peut faire tendre ε vers zéro et on a la conservation de la quantité de mouvement pour un tel impact : P final = P init . On ne peut bien sˆ ur pas faire cette approximation pour les forces de contraintes et les forces de percussion, c’est-à-dire les forces telles R t+ε que t−ε F ext dt 6= 0, même si ε → 0. Application

L’analyse détaillée d’une collision élastique est conduite à la section 2.12.

1.13 13.1

Moment cin´etique et moment de force

Soient O un point du référentiel et un point matériel en P (fig. 1.23). On appelle moment cin´ etique L0 en O la grandeur L0 = OP ∧ p o` u p = mv est la quantité de mouvement du point matériel. On appelle moment de la force F en O, la grandeur M 0 = OP ∧ F Il faut faire attention de toujours spécifier le point de référence du moment cinétique et du moment de force, car ces deux grandeurs en dépendent ! x3 L0

Fig. 1.23 Point matériel en P , quantité de mouvement et moment cinétique par rapport ` a un point O du référentiel.

Le moment cinétique et le moment de force sont liés par une relation qui deviendra très importante quand on considérera la mécanique d’un système de points matériels, en particulier la mécanique du solide indéformable.

Autres forces

Proposition 1.6 Théorème du moment cinétique pour un point matériel. dL0 = M0 dt

(1.12)

o` u O appartient au r´ef´erentiel.

´monstration. De

d d ˙ ∧ p) + (OP ∧ p) L0 = (OP ∧ p) = (OP ˙ = OP ∧ F . dt dt

Application

Avec l’introduction de la notion de moment cinétique pour un point matériel, on peut aborder l’analyse des lois de Kepler (sect. 3.12) et du mouvement elliptique des planètes autour du Soleil, pour en déduire, comme Newton l’a établi, la loi de la gravitation (sect. 2.13).

1.14 1.14.1

Autres forces

Les forces en ´electromagn´etisme

14.1

Les lois de forces élémentaires de l’électromagnétisme sont données ici pour enrichir la palette des forces qu’on peut évoquer dans des problèmes de mécanique. Leur description détaillée sera traitée dans le cadre du volume d’électromagnétisme de ce même traité. Force de Coulomb Une charge électrique q1 immobile exerce sur une charge électrique q2 immobile une force F donnée par F =

q1 q2 r 4πε0 r2 r

(1.13)

avec 1/(4πε0 ) = 8,988 × 109 Nm2 /C2 , r la distance entre les charges et r le vecteur d’origine ` a la position de q1 et d’extrémité à celle de q2 . Ainsi, si q1 et q2 sont de même signe, cette force est répulsive. Les forces électrostatiques sont typiquement très supérieures aux forces gravitationnelles. En effet, considérons deux électrons. La charge de l’électron vaut environ 1,6 × 10−19 C. Le coefficient de r/r3 dans (1.13) vaut donc 2 × 10−28 Nm2 . La force d’attraction gravitationnelle (2.50) entre les deux électrons est aussi proportionnelle à r/r3 . Comme la masse de l’électron est de 9 × 10−31 kg, le coefficient de proportionnalité pour la gravitation vaut 5 × 10−71 Nm2 . La différence entre ces deux forces est énorme !

Les fondements de la m´ ecanique

Champ électrique La notion de champ électrique peut être comprise par analogie avec le champ de la gravitation (éq. 3.7, sect. 3.13) et la force gravitationnelle (3.8). Un ensemble de charges produit un champ électrique E tel que la somme des forces de Coulomb entre une charge test q et toutes les autres vaut F = qE On peut créer un champ E approximativement uniforme en chargeant les plaques d’un condensateur plan (fig. 1.24). La dynamique d’une charge dans un champ uniforme est analogue à la chute d’un corps dans le champ de la pesanteur. En particulier, la trajectoire est parabolique. –V

14.3

Fig. 1.24 La déflexion d’un faisceau d’électrons dans un champ électrique. Le faisceau d’électron rase une plaque phosphorescente. Les deux pièces métalliques en haut et en bas de l’image sont polarisées a ` 3 kV pour produire le champ électrique déviant le faisceau.

Contexte

Ce n’est qu’au début du xxe siècle qu’une expérience conduite sous la direction de Rutherford permit de comprendre que l’atome comportait un noyau chargé positivement. Pour analyser son expérience, Rutherford dut estimer le potentiel répulsif entre les atomes de la cible et la charge incidente (sect. 3.15). Force de Lorentz Dans un champ d’induction B, une particule de charge q, de vitesse v, subit une force F = qv ∧ B (1.14) On note que la force est perpendiculaire à la vitesse. Par conséquent, la force de Lorentz ne travaille pas et l’énergie cinétique de la particule est constante (éq. 1.10). Application

Au paragraphe 2.14.1 on analyse le mouvement d’une particule charg´ee dans un champ d’induction magn´etique uniforme.

Autres forces

1.14.2

Mod`eles de forces de frottement

Dans un grand nombre de situations, les forces en présence n’ont pas d’expressions simples. C’est tout particulièrement le cas des forces de frottement pour lesquelles il n’y a pas de lois dont l’expression mathématique serait pure comme celles pour la force de la gravitation ou la loi de Coulomb. Il faut alors accepter de travailler avec des modèles approximatifs. Ci-dessous, on présente deux modèles courants de forces de frottement. Les frottements secs Ch. A. Coulomb étudia l’action d’une surface sur un solide. Depuis ces travaux (1785), on comprend qu’on doit distinguer la friction statique de la friction avec glissement (fig. 1.25).

14.3

Fig. 1.25 Une plaque de bois glisse sur une surface lisse et s`eche. Des poids sont pos´es sur la plaque de bois. On mesure la force maximale de traction sans glissement, puis la force de traction quand il y a glissement, en fonction du lest.

Friction statique On consid`ere d’abord le solide immobile sur une surface (fig. 1.25). Il subit une force de r´eaction N (fig. 1.26). On suppose qu’on applique au solide une force de traction tangente ` a la surface T , mais sans que le solide ne glisse. N

Fig. 1.26 Le frottement F s’ajuste pour compenser exactement T .

Alors le solide subit aussi une force de frottement tangente à la surface, F . La force F s’ajuste pour qu’il n’y ait pas de glissement. Cette situation est maintenue jusqu’au point o` u la force F atteint la valeur maximale de son module. Au-del` a de cette valeur, il y a décrochement et glissement. Cette force maximale est donnée par Fmax = µs N (1.15) µs est appelé coefficient de frottement statique. La valeur de µs dépend des matériaux en contact, de leur état de surface et de la présence d’humidité, notamment. Une valeur de l’ordre de 1,0 est souvent observée.

Les fondements de la m´ ecanique

Frottement avec glissement Pour un solide sur une surface, subissant une force de réaction de la surface N , glissant ` a une vitesse v mesurée par rapport à la surface, la force de frottement est donnée par v F = −µc |N | (1.16) |v| µc est appelé coefficient de frottement cin´ etique. Dans ce modèle, on suppose que µ est indépendant de la vitesse. Pour raffiner ce modèle, on pourrait par exemple consulter des données expérimentales [11]. Le coefficient de frottement cinétique est toujours plus petit que le coefficient statique. On en fait l’expérience par exemple lorsqu’on fait glisser une armoire sur un sol lisse. En résumé, la force F dépend de la traction T comme indiqué sur la figure 1.27. F ms N mc N T

Fig. 1.27 A basse valeur de la traction T , la force de frottement F = T et l’objet est immobile sur son support. A une valeur limite, il y a décrochement et au-del` a de celleci, la force de frottement est constante, plus petite que la valeur au décrochement, et indépendante de la traction T .

Les frottements visqueux Dans les fluides ` a très basses vitesses, la force de frottement subie par un solide se dépla¸cant ` a la vitesse v par rapport au fluide peut être estimée par F = −kηv

(1.17)

o` u le coefficient η est la viscosité, k un facteur géométrique (k = 6πR pour une sphère de rayon R). A plus grande vitesse, le frottement devient proportionnel au carré de la vitesse : v 1 F = −Cx ρfl v 2 S (1.18) 2 v ρfl est la densité du fluide, S l’aire de la projection du solide sur le plan normal a la vitesse. Cx est appelé coefficient de traˆınée. Cx vaut 1,3 pour un disque ` dont l’axe est dans la direction du mouvement. Cx vaut 0,45 pour une sphère, 0,03 pour une demi-sphère prolongée par un cône, et typiquement 0,03 pour une aile d’avion. Application

Au paragraphe 2.14.2 on analyse quelques expériences dans lesquelles le frottement sec statique ou cinétique joue un rôle déterminant.

R´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

1.15

Référentiels accélérés

La deuxième loi de Newton s’applique quand on travaille avec un référentiel d’inertie. Il y a toutefois des situations, comme l’étude de la dynamique à la surface de la Terre (sect. 1.16), dans lesquelles on souhaite travailler avec un référentiel qui n’est pas d’inertie. Dans cette section, on établit des équations du mouvement pour des référentiels qui sont en rotation ou en accélération uniforme par rapport ` a un référentiel d’inertie (fig. 1.28).

15.1

caméra

15.3 jet d’eau

Fig. 1.28 Le mouvement radial de gouttes d’eau sortant d’une buse horizontale en rotation uniforme. Quand le mouvement est observé par une caméra en rotation uniforme avec la buse, les gouttes apparaissent toutes sur un jet courbé unique !

1.15.1

Cin´ematique

Il est commode, dans le cadre de cette approche, d’appeler le référentiel d’inertie le r´ ef´ erentiel absolu et, l’autre, le r´ ef´ erentiel relatif . On considère un référentiel absolu matérialisé par un système d’axes cartésiens Ox1 x2 x3 , un référentiel relatif qu’on représentera par un système d’axes cartésiens Ay1 y2 y3 (fig. 1.29). On veut établir les relations entre les vitesses et accélérations absolues, mesurées par rapport ` a Ox1 x2 x3 et les vitesses et accélérations relatives, mesurées par rapport ` a Ay1 y2 y3 . Pour ce faire, on va dériver par rapport au temps la relation : OP = OA+AP . On introduit le repère A, y ˆ1 , y ˆ2 , y ˆ3 ) lié au système d’axes Ay1 y2 y3 . L’évolution temporelle des vecteurs unités y ˆ1 , y ˆ2 , y ˆ3 , est décrite par la vitesse angulaire Ω. Les formules de Poisson (1.8) spécifient cette évolution : dˆ yi =Ω∧y î (i = 1, 2, 3) (1.19) dt On pose AP =

X i

yi y ˆi

Les fondements de la m´ ecanique

y3 y2

Fig. 1.29 Ox1 x2 x3 : référentiel absolu, P : un point matériel quelconque ; Ay1 y2 y3 : référentiel relatif.

Les yi sont les composantes de AP dans le référentiel relatif. Par conséquent, la vitesse de P , v r (P ), mesurée dans le référentiel relatif, est donnée par X v r (P ) = y˙ i y î (1.20) i

L’accélération relative de P, ar (P ) est donnée par X ar (P ) = yï y î

(1.21)

Proposition 1.7 Vitesse relative et absolue. v a (P ) = v a (A) + v r (P ) + Ω ∧ AP ´monstration. De

La vitesse absolue v a (P ) =

d dt OP

d d d v a (P ) = (OA) + (AP ) = v a (A) + dt dt dt X X = v a (A) + y˙ i y ˆi + yi y ˆ˙ i i

= v a (A) + v r (P ) +

(1.22)

vaut ! X

yi y ˆi

yi Ω ∧ y ˆi

Proposition 1.8 Ω.

Ω est ind´ependant du choix de A.

´monstration. De la relation (1.22) :

Soit B un point quelconque du solide. On applique `a B v a (B) = v a (A) + Ω ∧ AB

(1.23)

R´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

Par conséquent v a (P ) = v a (A) + v r (P ) + Ω ∧ AP = v a (B) + v r (P ) − Ω ∧ AB + Ω ∧ AP = v a (B) + v r (P ) + Ω ∧ BP On obtient donc la formule (1.22) avec B à la place de A sans changer Ω. Proposition 1.9 Accélération relative et absolue. ˙ ∧ AP aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ v r (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP ) + Ω ´monstration. De rapport au temps : aa (P ) =

Pour trouver l’accélération, dérivons la vitesse absolue par dv a (P ) dv a (A) dv r (P ) d = + + (Ω ∧ AP ) dt dt dt dt

(1.24)

En développant la vitesse relative en termes des composantes (1.20) et en utilisant les relations (1.19), il vient les termes annoncés. La contribution 2Ω ∧ v r (P ) est appelée acc´ el´ eration de Coriolis. Le terme Ω∧(Ω∧AP ) est appelé acc´ el´ eration centrip` ete. Le groupe de termes ˙ ∧ AP est appelé acc´ aa (A) + Ω ∧ (Ω ∧ AP ) + Ω el´ eration d’entraˆınement. C’est l’accélération du point du référentiel Ay1 y2 y3 co¨ıncidant avec P à l’instant considéré. Pour développer un sens physique de l’accélération de Coriolis et de l’accélération centripète qui interviennent dans le mouvement relatif à un référentiel en rotation, il est bon de considérer quelques situations simples (problèmes 5.6, 5.7, 5.8).

1.15.2

Dynamique

Quand on considère le jet d’eau (fig. 1.28) depuis le référentiel en rotation avec la plate-forme, on voit que la trajectoire du jet d’eau, telle qu’elle est vue par la caméra, n’est pas rectiligne.

Exemple 1.3 On observe la même courbure de la trajectoire quand on marque avec un feutre la trajectoire d’un plot qui glisse sur une plaque de verre en rotation (fig. 1.30). Dans cette expérience, on peut négliger le frottement. Le plot, quand il est relˆ aché, part en ligne droite ; la droite est tangente au cercle qu’il décrivait quand il était retenu. La trace sur le verre est une courbe marquant un éloignement du cercle que décrivait le plot quand il était retenu. C’est cet éloignement per¸cu dans le référentiel en rotation qui fait hésiter les

Les fondements de la m´ ecanique

´etudiants ` a qui on demande o` u va une masse qui tournoie quand on lˆache le fil qui la maintenait sur une trajectoire circulaire.

feutre

15.3

Fig. 1.30 Quand le feutre est relˆ aché, il suit une ligne droite dans l’auditoire et il marque la trajectoire telle qu’elle est per¸cue dans le référentiel de la table tournante.

Avec ce genre d’expérience, il devient clair qu’on ne peut pas appliquer la deuxième loi de Newton dans un référentiel en rotation en invoquant les mêmes forces que si l’on se tient dans un référentiel d’inertie. En effet, suivant Newton, on applique sa deuxième loi en faisant usage du référentiel d’inertie. Ainsi, on écrit F = maa (P ) Il est entendu que F représente la somme des forces appliquées (pesanteur, gravitation, liaison, frottement, etc.). Si on veut les équations du mouvement en termes des vitesses et des accélérations mesurées dans le référentiel relatif, il faut alors écrire ˙ ∧ AP + mΩ ∧ Ω ∧ AP F = maa (A) + mar (P ) + mΩ + 2mΩ ∧ v r (P ) On voit qu’on peut généraliser l’approche de Newton en admettant que les forces, tout comme les vitesses et les accélérations, dépendent du référentiel. En effet, on peut écrire ˙ ∧ AP − 2mΩ ∧ v r (P ) mar (P ) = F − maa (A) − mω ∧ Ω ∧ AP − mΩ Quand la deuxième loi de Newton est écrite de cette manière, le terme d’accélération de Coriolis, par exemple, apparaˆıt comme une force. De même, le terme d’accélération centripète devient une force centrifuge. Ces « forces » sont en fait des effets de référentiels accélérés. On les appelle forces d’inertie. Application

On peut se convaincre sur la base de quelques exemples simples (sect. 2.15) qu’il est toujours possible de passer d’un référentiel d’inertie à un référentiel accéléré et obtenir la même description physique, comme il se doit.

Dynamique terrestre

1.16

Dynamique terrestre

On considère ici l’approche du « mouvement relatif » (sect. 1.15) dans son application ` a la description de mouvements à la surface de la Terre, quand la Terre ne peut plus être considérée comme un référentiel d’inertie. On peut vouloir considérer une expérience banale comme la chute libre, mais la faire avec une mesure si précise qu’on observe une déviation qui ne devrait pas avoir lieu si la Terre était un référentiel d’inertie (§ 2.16.1). Il se peut au contraire que l’expérience soit subtile, comme celle du pendule de Foucault (§ 2.16.2) avec laquelle une grosse déviation est observée par rapport à la prédiction qu’on fait si on considère la Terre comme un référentiel d’inertie. Pour rendre compte de la situation physique à la surface de la Terre, il y a lieu de considérer l’ordre de grandeur des dimensions et des temps caractéristiques des expériences. La vitesse angulaire de rotation de la Terre est de l’ordre de ω = 7,3 × 10−5 s−1 et son rayon vaut r = 6,35 × 106 m. Le déplacement vertical typique ` a la surface de la Terre est très petit en comparaison du rayon de la Terre et le temps caractéristique des mouvements considérés est bien plus court que la période de rotation de la Terre. Il faudra exprimer ces ordres de grandeurs dans nos calculs en faisant des approximations. On va utiliser la Terre comme référentiel relatif et prendre pour référentiel absolu un système d’axes cartésiens Ox1 x2 x3 centré sur la Terre mais dont les axes pointent vers des étoiles lointaines. On néglige donc le mouvement orbital de la Terre autour du Soleil. Un dessin (fig. 1.31) précise le choix des référentiels. Le référentiel relatif sera le système d’axes Ay1 y2 y3 avec A à la surface de la Terre. y3 y2 A

l x3 x1

Fig. 1.31 Référentiel absolu : Ox1 x2 x3 , lié a ` des étoiles, référentiel relatif : Ay1 y2 y3 , lié a ` la Terre, A a ` sa surface.

Comme ω˙ = 0, la formule de l’accélération en mouvement relatif donne m ar (P ) + aa (A) + ω ∧ (ω ∧ AP ) + 2ω ∧ v r = mg + F On considère ici une force appliquée F et la pesanteur. Comme A suit un mouvement circulaire uniforme, aa (A) = ω ∧ (ω ∧ OA). Par conséquent, mar (P ) = mg + F − mω ∧ ω ∧ (OA + AP ) − 2mω ∧ v r (P )

16.1

Les fondements de la m´ ecanique

Pour des expériences typiques à la surface de la Terre, les déplacements à la surface de la Terre sont toujours négligeables comparés au rayon de la Terre. Cela veut dire que nous pouvons négliger AP devant OA : mar (P ) = mg − mω ∧ (ω ∧ OA) + F − 2mω ∧ v r (P )

(1.25)

Comme le deuxième terme est constant, il peut être en quelque sorte «absorbé» dans le premier, en définissant un g effectif. Pour rendre l’argument plus intuitif, on considère l’expérience du fil à plomb.

Fig. 1.32 Fil a ` plomb et forces exerc´ees.

On considère une masse immobile (vu de la Terre), suspendue au bout d’un fil (fig. 1.32). Il s’agit d’une expérience statique dans le référentiel de la Terre, donc ar (P ) = 0 v r (P ) = 0 Les équations du mouvement (1.25) fournissent la force de réaction du fil : T = − mg − mω ∧ (ω ∧ OA) T peut être considérée comme une mesure d’un g eff avec (fig. 1.33) : g eff = g − ω ∧ (ω ∧ OA) Aux pˆ oles, ω est parallèle ` a OA, donc l’effet de la rotation de la Terre est nul, bien évidemment. Ailleurs, ω ∧ (ω ∧ OA) = ω 2 r sin λ L’angle λ désigne la co-latitude (fig. 1.31). L’ordre de grandeur de cette correction est donné par ω 2 r = 0,03 m s−2 . L’importance relative de cette correction vaut tout au plus : ω2 r = 0,3 % g Ainsi, dorénavant, g sera entendu comme étant redéfini avec cette correction. Les équations du mouvement de la dynamique terrestre ont alors la forme : ar (P ) = g +

F − 2ω ∧ v r (P ) m

(1.26)

Syst` emes de point mat´ eriels, lois de conservation

plan méridien N

w w Ù OA ^ plan méridien A O

-w Ù (w Ù OA)

Fig. 1.33 Effet de la rotation de la Terre sur le g apparent. Application

On analyse dans la section 2.16 le mouvement vertical et le mouvement horizontal ` a la surface de la Terre. Une méthode de calcul dite « de perturbation » est introduite ` a cette occasion. Les résultats sur le mouvement horizontal permettent de rendre compte qualitativement du comportement du pendule de Foucault. L’usage du formalisme du mouvement relatif et de coordonnées généralisées fournit les équations du mouvement du pendule de Foulcault (problème 5.9).

1.17 1.17.1

Syst`emes de point mat´eriels, lois de conservation 17.1

R´ef´erentiel du centre de masse

De nombreux systèmes mécaniques peuvent être modélisés par un ensemble de points matériels. On convient de la notation suivante pour un tel système : les points matériels sont de masse mα situés au point Pα . L’indice α les numérote. Centre de masse

Soit un référentiel R comprenant un point O. Soit un système de points matériels mα aux points Pα . Le centre de masse G du système de points matériels est défini par la moyenne des positions des points Pα pondérée par leur masse : 1 X OG = mα OPα (1.27) M α P avec M = α mα , la masse totale du système de points matériels. Proposition 1.10 G indépendant de O. dépend pas du choix du point O.

La d´efinition du centre de masse ne

´monstration. Soit un autre point du référentiel O0 pour lequel la défiDe nition du centre de masse fournirait la position G0 du centre de masse. On a 1 X 1 X 1 X O 0 G0 = mα O 0 P α = mα O 0 O + mα OPα M α M α M α = O 0 O + OG = O 0 G

Les fondements de la m´ ecanique

C’est dire que G et G0 sont confondus. Le référentiel lié au centre de masse du système de points matériels, en translation par rapport au référentiel d’inertie R, est appelé le r´ ef´ erentiel centre de masse. On notera v α les vitesses des points matériels Pα mesurées par rapport au référentiel d’inertie et v 0α leurs vitesses mesurées dans le référentiel centre de masse. Deux propriétés du référentiel centre de masse sont utilisées par la suite. Proposition 1.11 Positions et vitesses dans le référentiel centre de masse. X mα GPα = 0 (1.28) α

mα v 0α = 0

(1.29)

T =

X1 1 M V 2G + mα v 02 α 2 2 α

(1.30)

De la d´efinition de G, on peut ´ecrire : 1 X 1 X OG = mα OPα = mα (OG + GPα ) M α M α 1 X = OG + mα GPα M α

´monstration. De

Du premier et du dernier terme vient la première propriété annoncée. De OPα = OG + GPα , on tire par dérivation par rapport au temps : v α = V G + (v α − V G ) = V G + v 0α

(1.31)

car v α −V G est la vitesse mesurée dans le référentiel centre de masse (§ 1.15.1). Par conséquent : 1 X 1 X VG = mα v α = mα V G + v 0α M α M α 1 X = VG + mα v 0α M α Du premier et du dernier terme vient la deuxième propriété annoncée. La troisième propriété en découle, compte tenu de la définition X1 T = mα v 2α 2 α et de (1.31). Pour un système de points matériels, on définit : •

la quantit´e de mouvement totale : X P = pα , α

o` u pα = mα v α

Syst` emes de point mat´ eriels, lois de conservation

•

le moment cin´etique total par rapport `a O : X L0 = L0,α o` u L0,α = OPα ∧ pα α

Le théorème du moment cinétique et la deuxième loi de Newton s’appliquent a chaque masse : ` dpα dL0,α = Fα = M 0,α dt dt o` u F α est la résultante de toutes les forces agissant sur mα et o` u M 0,α = OPα ∧ F α

1.17.2

Enoncé général de la troisième loi de Newton

Pour un système matériel, il convient de distinguer deux contributions aux forces F α exercées sur le points Pα : • •

les forces int´ erieures F int α , les forces ext´ erieures F ext α .

On appelle forces intérieures celles qui sont dues uniquement à des interactions ` a l’intérieur du système. Elles ne dépendent que des positions et des vitesses des points matériels du système. Les forces extérieures sont typiquement des forces appliquées au système. Elles ont une cause entièrement, ou en partie, extérieure au système. On considère les forces d’interactions mutuelles entre deux points matériels P1 et P2 du système. La troisième loi implique F 2→1 + F 1→2 = 0

(1.32)

On va faire l’hypothèse supplémentaire que ces forces sont parallèles au segment P1 P2 . Ceci implique OP1 ∧ F 2→1 + OP2 ∧ F 1→2 = 0

(1.33)

En effet, on a 0 = P1 P2 ∧ F 1→2 = OP2 ∧ F 1→2 − OP1 ∧ F 1→2 = OP2 ∧ F 1→2 + OP1 ∧ F 2→1

(1.34)

Pour étendre ce résultat ` a un système de plus de deux points matériels, on fait l’hypothèse supplémentaire sur la nature des forces dans un système de plusieurs points matériels : le principe de superposition des forces. Cela revient à faire l’hypothèse raisonnable selon laquelle la force F α vaut la somme des forces d’interactions deux ` a deux du point matériel au point Pα et des points matériels Pβ , β 6= α, jouissant de la propriété du parallélisme des forces d’interaction et

Les fondements de la m´ ecanique

du segment défini par chaque paire de points matériels. Dans ce cas, la troisième loi de Newton implique X XX X X F int F β→α = F α→β + F β→α = 0 α = α

α β6=α

1≤α<β≤N

De plus, on a X OPα ∧ F int = α α

OPα ∧ F β→α + OPβ ∧ F α→β

1≤α<β≤N

(OPβ − OPα ) ∧ F α→β

1≤α<β≤N

Pα Pβ ∧ F α→β = 0

1≤α<β≤N

On conviendra ainsi que la troisième loi de Newton pour un système de points matériels s’exprime de la manière suivante : X X F int OPα ∧ F int (1.35) α = 0, α =0 α

On verra que cette forme de la troisième loi implique les principes de conservations de la quantité de mouvement et du moment cinétique. Il s’avère que ces résultats-l` a sont plus généraux que les expressions (1.35). On peut les obtenir a partir de symétries fondamentales (propositions 4.5 et 4.6, sect. 4.3). ` On adoptera la notation suivante pour les sommes des forces et des moments de forces : X ext F ext α =F α

ext OPα ∧ F ext α = M0

Il s’agit d’une simplification des écritures. Toutefois, il est essentiel de considérer les points d’applications des forces dans l’analyse de tout problème de mécanique de systèmes de points matériels ! 1.17.3

Lois de la dynamique pour un syst`eme de points mat´eriels

La troisième loi de Newton généralisée fournit deux lois très importantes qui déterminent l’évolution d’un système de points matériels. Proposition 1.12 Théorème de la quantité de mouvement. dP = F ext dt

(1.36)

Proposition 1.13 Théorème du moment cinétique. dL0 = M ext 0 dt

(1.37)

Syst` emes de point mat´ eriels, lois de conservation

´monstration. Il suffit de sommer les expressions du théorème du moDe ment cinétique et de la deuxième loi de Newton appliquées à chaque point matériel. La troisième loi de Newton implique X X X X Fα = F ext et OPα ∧ F α = OPα ∧ F ext α α α

Ces deux théorèmes jouent un rôle central en mécanique. En dynamique du solide indéformable, en particulier, ces deux théorèmes constituent la base théorique qui fournira les équations du mouvement. La quantité de mouvement totale s’exprime très simplement en fonction de la vitesse de son centre de masse, noté V G . Proposition 1.14 Quantité de mouvement totale. MVG = P ´monstration. De

(1.38)

En d´erivant par rapport au temps (1.27), il vient : MVG =

X α

mα v α =

pα = P

Proposition 1.15 Th´eor`eme du centre de masse. M

X dV G = F ext α dt α

´monstration. Ce résultat s’obtient en dérivant par rapport au temps De (1.38) et en invoquant (1.36). Le centre de masse apparaˆıt alors comme un point matériel de masse M auquel toutes les forces extérieures exercées sur le système (en différents points du système) lui seraient appliquées (directement). Le théorème du centre de masse est très utilisé en mécanique, en particulier pour le cas du solide indéformable. Toutefois, on verra avec la mécanique du solide indéformable, qu’il ne signifie pas que le solide se comporte comme si toutes les forces sont appliquées au centre de masse. Le point d’application de la force importe dans la dynamique du solide ! 1.17.4

Principes de conservation

La généralisation de la troisième loi de Newton permet d’annoncer les deux principes de conservation suivants. Proposition 1.16 Un système isolé, c’est-` a-dire libre de forces extérieures, possède une quantité de mouvement totale et un moment cinétique total constants.

´monstration. De

Les fondements de la m´ ecanique

Si F ext = 0 et M ext 0 = 0, alors (1.36) et (1.37) impliquent P constant

(1.39)

L0 constant

(1.40)

et On dit que les grandeurs sont conservées. Ces lois de conservation sont valables même en relativité restreinte et en mécanique quantique ! Elles peuvent être dérivées de notions plus fondamentales de symétrie, libres des hypothèses faites ici sur la nature des forces. On appliquera souvent ces principes de conservation, car ils permettent de simplifier l’analyse d’un système physique. Quand un système n’est pas isolé, il se peut qu’on puisse invoquer la conservation d’une composante de la quantité de mouvement totale, ou du moment cinétique total parce qu’aucune force ou aucun moment cinétique ne s’exerce dans une direction du référentiel d’inertie. On peut par exemple considérer un système mécanique sur une table a air horizontale. Les plots sur la table à air ne sont pas isolés. Ils subissent la ` sustentation de la table ` a air. Cependant, pour un grand nombre d’expériences, on peut négliger toutes les forces horizontales. On en déduit que la quantité de mouvement totale dans le plan horizontal est conservée. Formellement, soit u ˆ une direction fixe par rapport au référentiel d’inertie, dans laquelle u ˆ · F ext = 0. Alors P · u ˆ est une grandeur conservée. De même, si u ˆ · M ext = 0, alors L · u ˆ est conserv´ ee. 0 0 Application

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement totale permet de rendre compte de la poussée d’une fusée ou du recul d’un canon (§ 2.17.1). Le principe de la conservation du moment cinétique permet d’expliquer le changement de vitesse angulaire d’une patineuse qui sert ses bras contre son corps (§ 2.17.3) .

1.18 18.1

Cin´ematique du solide

Très tˆ ot dans l’analyse des systèmes mécaniques, on a invoqué le modèle du point matériel. Il faut se demander dans quelle mesure ce modèle peut rendre compte du mouvement d’un objet réel. Nous avons déjà un élément de réponse par le théorème du centre de masse qui met en jeu un point matériel (au centre de masse) pour tout système matériel. On va maintenant porter l’attention sur un modèle plus évolué : celui du solide indéformable. On appelle solide ind´ eformable un ensemble de points dont les distances mutuelles sont constantes. En particulier, un référentiel est un solide indéformable. Dans ce qui suit, quand on dira « solide », il s’agira toujours d’un solide indéformable. Cette définition est celle d’un système idéal. Un perfectionnement de cette modélisation serait de considérer les déformations d’un solide

Cin´ ematique du solide

(sect. 3.18). On entrerait alors dans le domaine de la résistance des matériaux. Enfin, si on allait jusqu’` a considérer les très grandes déformations, comme celle d’un fluide, on s’engagerait dans l’étude de l’hydrodynamique. 1.18.1

Coordonn´ees ind´ependantes

On veut d’abord spécifier la position d’un solide par rapport à un référentiel. Combien de coordonnées indépendantes faut-il se donner, en général ? Proposition 1.17 Nombre de coordonnées. Il suffit de spécifier au plus 6 coordonnées pour définir la position de tout point d’un solide indéformable de forme donnée. ´monstration. On réalise d’abord qu’il suffit de connaˆıtre la position de De trois points non colinéaires du solide pour connaˆıtre la position de n’importe quel autre de ses points. Il nous faut les coordonnées suivantes pour spécifier les positions de ces trois points : •

Premier point : 3 coordonn´ees ;

•

Deuxième point : en toute généralité 3 coordonnées, mais ici il y a une contrainte, le deuxième point est sur une sphère centrée au premier point. Il ne faut donc que 2 coordonnées indépendantes pour situer le deuxième point sur cette sphère, typiquement deux angles ;

•

Troisième point : une fois les positions des deux premiers points fixées, le troisième point ne peut faire qu’une rotation autour de l’axe passant par les deux premiers points. Donc ce troisième point est repéré par 1 coordonnée indépendante, typiquement un angle.

Au total il faut donc 6 coordonnées indépendantes pour définir la position d’un solide dans l’espace. Au lieu de donner les coordonnées de trois points non colinéaires du solide, on peut aussi donner les trois coordonnées d’un point du solide, et trois angles qui spécifient l’orientation du solide. Il est souvent commode d’utiliser les angles d’Euler, définis ci-dessous (sect. 3.16). 1.18.2

Vitesse et acc´el´eration d’un point du solide

On considère un référentiel R0 matérialisé par un système d’axes cartésiens Ox1 x2 x3 et un solide comprenant un point A de vitesse V (A) (fig. 1.34). L’évolution dans le temps de l’orientation du solide est décrite par la vitesse angulaire ω. P désignera toujours dans ce qui suit un point quelconque du solide. Proposition 1.18 Vitesse d’un point du solide. V (P ) = V (A) + ω ∧ AP

(1.41)

Les fondements de la m´ ecanique

y3 y2

x3 A

Fig. 1.34 Référentiel absolu Ox1 x2 x3 , ; Ay1 y2 y3 lié au solide, P quelconque.

´monstration. On a la relation vectorielle : OP = OA + AP . Pour De d calculer la vitesse de tout point P du solide, on exprime : V (P ) = dt OP , donc V (P ) =

d d OA + AP dt dt

On prend note que le vecteur y = AP appartient au solide, il est fixe dans le solide. Le vecteur y ne dépend du temps que par son orientation par rapport au référentiel. Il ne change pas de module puisqu’il appartient au solide et que celui-ci est déclaré indéformable. Pour la dérivée de y = AP , on écrit explicitement ses composantes sur le repère A y ˆ1 , y ˆ2 , y ˆ3 lié au solide et on applique les relations de Poisson : ! X dˆ d X y V (P ) = V (A) + yi y î = V (A) + yi i dt dt i i X X = V (A) + yi ω ∧ y î = V (A) + ω ∧ yi y î i

Remarque. Comme la cinématique de tout point du solide est celle de tout point d’un référentiel lié ` a ce solide, les trois propriétés suivantes du vecteur de vitesse angulaire ω ont déjà été obtenues dans la description du mouvement relatif : •

ω est le mˆeme pour tout point P du solide.

•

ω est ind´ependant du choix de A.

•

ω est ind´ependant du choix des axes et des angles.

Proposition 1.19 Acc´el´eration d’un point du solide. a(P ) = a(A) + ω ˙ ∧ AP + ω ∧ ω ∧ AP

(1.42)

Dynamique du solide

´monstration. De

Par d´erivation de l’expression de la vitesse, on a

dAP a(P ) = V˙ (P ) = V˙ (A) + ω ˙ ∧ AP + ω ∧ dt On conclut en appliquant ` a nouveau au solide.

dy dt

= ω ∧ y, vrai pour tout y appartenant

Application

La cinématique du solide indéformable est considérablement plus complexe que celle du point matériel. Pour un solide, on peut définir une translation, restreindre le mouvement ` a des déplacements parallèles à un plan ou imposer une rotation avec un roulement sans glissement sur le support (sect. 2.18).

1.19 1.19.1

Dynamique du solide 19.1

Lois fondamentales

Les résultats obtenus pour un système de points matériels (§ 1.17.3) déterminent l’essentiel de notre compréhension de la dynamique du solide indéformable. Il faudra seulement imposer à la cinématique le fait que le système est un solide indéformable. On a obtenu pour le moment cinétique total : dLO = M ext O dt

(1.43)

o` u le point O appartient au référentiel. Pour la quantité de mouvement totale, on a le théorème du centre de masse : X dV G M = F ext (1.44) α dt α Ces deux résultats ensemble suffisent à l’étude de la dynamique d’un solide indéformable. En effet, on a établi qu’il faut 6 coordonnées pour spécifier la position du solide. Les équations (1.43) et (1.44) fournissent chacune 3 équations du mouvement. Il faut prendre garde de ne pas faire dire au théorème du centre de masse ce qu’il ne dit pas. La surinterprétation d’un modèle est un danger fréquent et le théorème du centre de masse en est un cas notoire. L’expérience montre que nombre d’étudiants concluent que le mouvement du centre de masse du solide est déterminé par ce théorème seulement. L’expérience du pendule en rotation (problème 5.40), par exemple, montre qu’un solide et un point matériel situé ` a l’endroit du centre de masse du solide ont des mouvements distincts. Exemple 1.4 On peut se convaincre que le solide n’est pas simplement un point matériel en lan¸cant une balle élastique pour qu’elle rebondisse sous une table. S’il

Les fondements de la m´ ecanique

s’agissait d’un point matériel, elle rebondirait sous la table à la manière d’un rayon lumineux entre deux miroirs parallèles : elle ressortirait à l’autre bout de la table. Mais il n’en est rien ! On observe que la balle revient vers le lanceur. C’est la rotation de la balle sur elle-même qui produit cet effet (problème 5.37). Au lieu de travailler avec le moment cinétique en un point O du référentiel, il est souvent plus commode d’utiliser le moment cinétique en G, le centre de masse. L’équation d’évolution pour le moment cinétique en G a la forme très simple stipulée par la proposition suivante.

Proposition 1.20 selon l’´equation

Le moment cinétique en G du solide indéformable évolue dLG = MGext dt

(1.45)

o` u MGext est le moment en G des forces ext´erieures MGext =

{GPα ∧ F ext α }

(1.46)

et LG =

GPα ∧ mα (ω ∧ GP α )

(1.47)

´monstration. On exprime la vitesse de chaque point du solide indéforDe mable selon (1.41) dans la définition du moment cinétique LO =

X mα OP α ∧ V G + (ω ∧ GP α )

(1.48)

Vu la d´efinition du centre de masse (1.27), on a ainsi LO = M OG ∧ V G + LG

(1.49)

On dérive par rapport au temps, en tenant compte du théorème du centre de masse (1.44) X dLO dLG = OG ∧ F ext (1.50) α + dt dt α On conclut en notant que M ext O =

X X ext ext (OG + GP ext = OG ∧ F ext α ) ∧ Fα α + MG α

(1.51)

Dynamique du solide

1.19.2

Tenseur d’inertie

« Il s’avère qu’avec les sujets de physique de plus en plus avancés, les choses se déduisent mathématiquement beaucoup plus vite qu’elles ne peuvent être comprises en termes simples ou avec des concepts fondamentaux. » [11, sect. I-20-6] On développe ici l’appareillage mathématique qui nous permet de calculer le moment cinétique d’un solide étant donné sa vitesse angulaire. On verra que le moment cinétique n’est en général pas parallèle à la vitesse angulaire. Cela implique la présence de moments de forces exercés sur l’axe de rotation (§ 1.21.2). Ces moments ne peuvent pas être obtenus par une description limitée a l’évolution de la projection du moment cinétique sur l’axe de rotation. ` Soit ω la vitesse angulaire d’un solide indéformable, de centre de masse G, considéré comme un système de points matériels de masse mα aux points Pα . On choisit un système d’axes cartésiens Gy1 y2 y3 lié au solide. Proposition 1.21 Tenseur d’inertie. Les composantes du moment cinétique LG , LG,i (i = 1, 2, 3), sont données en termes des composantes ωj (j = 1, 2, 3) de ω par X LG,i = IGij ωj (1.52) j

avec IGij =

mα GPα2 δij − GPα,j GPα,i

(1.53)

´monstration. On part de la définition du moment cinétique par rapport De au centre de masse (1.47) qu’on écrit grâce à la relation vectorielle (2.1) : X LG = mα (GPα · GPα )ω − (GPα · ω)GPα α

On ´ecrit les composantes des vecteurs dans le syst`eme d’axes Gy1 y2 y3 :   X X LG,i = mα GPα2 ωi − GPα,j ωj GPα,i  α

 =

X α

mα GPα2

 X j

δij ωj −

GPα,j ωj GPα,i 

On reconnaˆıt dans la somme (1.52) le produit d’une matrice et du vecteur de vitesse angulaire. On notera symboliquement LG = I G ω. On appelle I G (6) le tenseur d’inertie au point G . Ses composantes en coordonn´ees cart´esiennes sont IGij . (6)

On voit ` a la section 3.21 la n´ ecessit´ e d’introduire une autre grandeur tensorielle, le tenseur des contraintes.

Les fondements de la m´ ecanique

Remarque. La quantité de mouvement et le moment cinétique sont deux grandeurs physiques qu’on exprime chacune comme le produit d’une grandeur qui ne dépend pas du mouvement du solide, et de grandeurs précisant la vitesse du solide. En effet, pour le solide comme pour tout système de point matériel, sa quantité de mouvement vaut P = Mtotal V G et le calcul du moment cinétique du solide se réduit ` a LG = I G ω. Le concept de tenseur reste à découvrir. Il permet une grande simplification dans le calcul du moment cinétique, grâce au résultat suivant. Proposition 1.22 Repère d’inertie. Il existe un repère (G, e1 , e2 , e3 ), lié au solide, tel que    IG1 0 0 ω1 IG2 0  ω2  IG ω =  0 0 0 IG2 ω3 Ce repère est appelé rep` ere d’inertie. Les axes passant par G et parallèles aux vecteurs unités du repère d’inertie sont appelés axes principaux d’inertie. ´monstration. Le tenseur d’inertie (1.53) est une matrice réelle et syméDe trique. Un résultat d’algèbre linéaire implique qu’une telle matrice est diagonalisable. Le repère qui diagonalise I G est un repère de vecteurs propres de I G . Proposition 1.23 Orientation de LG et de ω. Le moment cinétique LG et la vitesse angulaire ω sont alignés si et seulement si ω est parallèle ` a un axe d’inertie. ´monstration. Si LG est parallèle à ω, on peut écrire I G ω = λω, c’estDe a-dire, ω est un vecteur propre de I G . Inversément, si (G, e1 , e2 , e3 ) est un ` repère d’inertie et ωk 6= 0, ωi = 0 (i 6= k), alors on a simplement : LG = I G ω = Ikk ωk e ˆk = Ikk ω Remarque. Quand les solides sont des sphères, des cylindres ou des tubes, (7) les axes principaux d’inertie sont les axes de symétrie de ces objets . On peut trouver les axes principaux d’inertie au point G en cherchant les vecteurs propres de I G (éq. 3.15). Les éléments diagonaux du tenseur d’inertie sont appelés les moments d’inertie du solide. Un moment d’inertie a toujours la forme d’une somme de masses fois des distances au carré. Pour le voir, on considère l’élément IG33 : X IG33 = mα GPα2 − GPα,3 GPα,3 α

mα [GPα,1 GPα,1 + GPα,2 GPα,2 ]

α (7)

Voir la section 3.20 pour plus de d´ etails sur les propri´ et´ es de sym´ etrie d’un objet et de son tenseur d’inertie.

Dynamique du solide

On peut ´ecrire IG33 =

mα d2α

avec d2α = GPα,1 GPα,1 + GPα,2 GPα,2

d2α

est le carr´e de la distance `a l’axe 3 (fig. 1.35). y3

GPα

G dα

Fig. 1.35 Distance d’un point Pα a ` l’axe 3.

1.19.3

Energie cin´etique de rotation

Souvent dans la pratique, on a besoin de calculer l’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. La proposition suivante fournit le résultat. Proposition 1.24 L’énergie cinétique d’un solide en rotation ` a la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe du solide est donnée par 1 E cin = I∆ ω 2 (1.54) 2 o` u I∆ est le moment d’inertie du solide pour cet axe, donné par X I∆ = mα d2α (1.55) α

Les dα sont les distances des masses mα à l’axe (fig. 1.35). ´monstration. Pour une rotation d’axe fixe, chaque masse mα suit un De mouvement circulaire de rayon dα à la vitesse angulaire ω. Donc sa vitesse scalaire vaut dα ω. L’énergie cinétique s’obtient en sommant les énergies cinétiques de chaque masse mα , ce qui donne le résultat annoncé. L’énergie cinétique de rotation d’un solide peut prendre des valeurs énormes, ce qui est mis ` a profit techniquement (sect. 3.11). Il est possible d’exprimer l’énergie cinétique d’un solide dans un mouvement quelconque en termes de son tenseur d’inertie, sa vitesse angulaire et la vitesse d’un point A du solide (voir problème 5.32). E cin =

1 1 M V A2 + M V A · (ω ∧ AG) + ω · I A ω 2 2

Les fondements de la m´ ecanique

Applications

La dynamique du solide indéformable fait intervenir de fa¸con systématique son moment cinétique. Or, ce dernier peut être défini en un point de l’espace qu’on choisit. Par conséquent, il est important de clarifier comment le moment cinétique et les lois d’évolution sont modifiés quand on change ce point de référence, ce qui est fait en détail à la section 2.19.

1.20 20.1

1.20.1

Solide avec un axe fixe

Moment d’inertie par rapport `a un axe

On considère le cas particulier o` u un point C est soit un point fixe du solide ou le centre de masse G. Soit ω la vitesse angulaire du solide. On se propose de ne prendre en compte ici que la projection du moment cinétique du solide sur l’axe ∆ défini par ω. En appliquant la définition du moment cinétique en un tel point C qui est ` a la fois un point du référentiel et un point du solide, on peut écrire compte tenu de la formule (2.1) X LC = mα CPα ∧ (ω ∧ CPα ) α

mα (CPα · CPα )ω − (CPα · ω)CPα

La projection se calcule par produit scalaire de LC avec le vecteur unit´e Il vient ainsi X ω ω 2 LC · = ω mα CPα · CPα − CPα · ω ω α

ω ω.

On reconnaˆıt dans la somme le carré de la distance dα du point matériel Pα à l’axe ∆ (fig. 1.36). On a ω LC · = IC∆ ω (1.56) ω o` u la grandeur IC∆ est appelée le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ∆ contenant C, avec X IC∆ = mα d2α (1.57) α

axe D w –– w C

da Pa

Fig. 1.36 Distance a ` l’axe d’un point Pα .

Solide avec un axe fixe

1.20.2

Equation d’´evolution pour les projections sur un axe fixe

On considère ici des problèmes pour lesquels un axe est d’orientation fixe et on ne s’intéresse dans un premier temps qu’à exploiter la projection du théorème du moment cinétique sur cet axe. Soit u ˆ le vecteur unité porté par l’axe. On a vu que la projection du moment cinétique sur un axe de rotation avait une expression simple : ! X 2 LO · u ˆ= mα dα ω = IO∆ ω α

La formule de Steiner (2.82) nous donnait le moment d’inertie par rapport à un axe passant par O, en fonction du moment par rapport à un axe parallèle passant par G : IO∆ = M d2G + IG∆ . Il ne reste plus qu’` a considérer maintenant la projection des moments extérieurs : X u ˆ · M ext ˆ OPα ∧ F α . O =u α k F⊥ α +F α

F⊥ α

Ecrivons F α = o` u est dans le plan normal à l’axe et F kα , parallèle ⊥ a l’axe (fig. 1.37). Seul ` à la projection du moment selon l’axe. P F α contribue ⊥ Alors u ˆ · M ext = u ˆ · OP ∧ F . De plus, on décompose le vecteur OPα = α O α α OPα0 + Pα0 Pα . Seul Pα0 Pα contribue à la projection du moment sur l’axe si on prend pour Pα0 la projection du point Pα sur l’axe. Il reste : X X 0 ⊥ ⊥ 0 ⊥ u ˆ · M ext = u ˆ · P P ∧ F = F d sin angle P P , F α O α α α α α α α α

o` u dα dénote la distance entre le point d’application de la force et l’axe. L’équation du mouvement pour la vitesse angulaire instantanée est donc X ⊥ 0 F ⊥ IO∆ ω˙ = d sin angle F , P P (1.58) α α α α α α

D Pa' Pa 0

Fig. 1.37 D´ecomposition de force F α exerc´ee en Pα , faisant apparaˆıtre l’effet de manivelle bien connu.

Les fondements de la m´ ecanique

Exemple 1.5 Le pendule physique Un objet de forme quelconque, pesant, de masse M , oscille autour d’un axe horizontal (fig. 1.38). Soit O un point de l’objet qui est sur l’axe et G le centre de masse ` a une distance ` de O. θ (dessin´e comme ayant une valeur positive) d´ecrit l’oscillation du pendule. O

rα

^ z

θ  G Vα

mα g

Fig. 1.38 Choix des axes et des coordonn´ees pour le pendule physique.

Prenons l’axe Oz sur l’axe du pendule, avec une direction positive donnée ˆ vers l’arrière de la figure. Alors, une composante positive de ω corpar z ˙ Le théorème du moment cinétique projeté respond ` a θ˙ < 0 donc ω = −θ. sur l’axe fixe devient −I∆ θ¨ = M g` sin θ Le modèle du pendule mathématique revient à poser que le solide au bout du fil est si petit que l’on peut faire l’approximation I∆ ≈ M `2 , et l’équation du mouvement dans cette limite est bien celle du pendule mathématique.

Exemple 1.6 Le treuil L’axe d’un treuil est fixe. On suppose que le centre de masse G est sur l’axe et le moment d’inertie IG est connu. Un seau d’une masse m est suspendu a une corde sans masse enroulée autour du treuil. Soit u ` ˆ le vecteur unité parallèle ` a l’axe du treuil. Le système comprenant le treuil et le seau est sujet ` a un moment en G des forces extérieures M ext ˆ. Le moment G = mgR u cinétique en G du système est la somme du moment cinétique du solide et de celui du seau. Ainsi l’équation du mouvement pour la vitesse angulaire du treuil ω est : IG ω˙ + mR2 ω˙ = Rmg (1.59)

Application

Dans cette classe de problèmes o` u le solide a un axe de rotation fixé dans le référentiel, le moment cinétique s’exprime en fonction du moment d’inertie du solide pour cet axe. A la section 2.20, on montre comment calculer un tel moment d’inertie pour quelques formes élémentaires.

Mouvement quelconque du solide

1.21 1.21.1

Mouvement quelconque du solide

Equations d’Euler

21.1

Il s’agit ici de développer une description mathématique des effets gyroscopiques dont on verra aussi une analyse qualitative à la section 2.21. On veut donc expliciter les équations d’évolution pour le moment cinétique en termes de ses projections sur le repère d’inertie lié au solide. Concrètement, on veut expliciter dLG /dt = M ext u G est le centre de G o` masse. Le moment cinétique s’obtient avec LG = IG ω o` u IG est le tenseur d’inertie (§ 1.19.2). En général, on ne connaˆıt que les moments d’inertie par rapport aux axes principaux d’inertie. Par conséquent, on projette les grandeurs vectorielles dans un repère d’inertie G, εˆ1 , εˆ2 , εˆ3 lié au solide (fig. 1.39). x3

εˆ3

εˆ2 x1 εˆ1

Fig. 1.39 Référentiel et solide quelconque avec un repère d’inertie.

Ainsi, il vient LG = L1 εˆ1 + L2 εˆ2 + L3 εˆ3 = I1 ω1 εˆ1 + I2 ω2 εˆ2 + I3 ω3 εˆ3 On pourrait ´ecrire : 

  L1 I1 L2  =  0 L3 0

0 I2 0

    0 ω1 I1 ω1 0  ω2  = I2 ω2  I3 ω3 I3 ω3

Le danger de cette notation est le risque d’oublier que le repère n’est pas immobile ! Pour calculer la dérivée par rapport au temps du moment cinétique, il faut explicitement invoquer celle des vecteurs unités : dLG = I1 ω˙ 1 εˆ1 + I2 ω˙ 2 εˆ2 + I3 ω˙ 3 εˆ3 + I1 ω1 εˆ˙1 + I2 ω2 εˆ˙2 + I3 ω3 εˆ˙3 dt Le repère (G, εˆ1 , εˆ2 , εˆ3 ), parce qu’il est lié au solide, subit une rotation de vitesse angulaire : ω = ω1 εˆ1 + ω2 εˆ2 + ω3 εˆ3 . Les relations de Poisson (1.8) donnent εˆ˙1 = −ω2 εˆ3 + ω3 εˆ2 εˆ˙2 = −ω3 εˆ1 + ω1 εˆ3 εˆ˙3 = −ω1 εˆ2 + ω2 εˆ1

Les fondements de la m´ ecanique

En regroupant tous les termes, il vient dLG = I1 ω˙ 1 εˆ1 + I2 ω˙ 2 εˆ2 + I3 ω˙ 3 εˆ3 + (I3 − I2 )ω2 ω3 εˆ1 dt + (I1 − I3 )ω1 ω3 εˆ2 + (I2 − I1 )ω2 ω1 εˆ3

(1.60)

Si ω est constant par rapport au repère d’inertie, c’est-à-dire ω˙ i = 0, alors il reste simplement dLG = ω ∧ LG (1.61) dt On appelle ´ equations d’Euler les équations du mouvement du moment cinétique sous la forme ext I1 ω˙ 1 + (I3 − I2 )ω3 ω2 = MG 1 ext I2 ω˙ 2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = MG 2

I3 ω˙ 3 + (I2 − I1 )ω2 ω1 = 1.21.2

(1.62)

ext MG 3

Moments exerc´es sur un axe fixe

L’´equation du mouvement obtenue pour un solide avec un axe fixe (§ 1.20.2) IO∆ ω˙ = u ˆ · M ext O

(1.63)

n’exprime pas toute l’information sur la dynamique de ce solide. Les considérations qui suivent permettent de s’en rendre compte pleinement. Problèmes de type « roue mal équilibrée » On se pose la question de savoir quel est le moment qu’un axe doit appliquer a un solide en rotation autour de cet axe et par conséquent, quelles sont les `

Fig. 1.40 Un solide est en rotation autour d’un axe qui est maintenu vertical par trois ressorts. Ainsi, selon la sym´etrie du solide par rapport a ` cet axe, on voit s’il y a un moment exerc´e par les ressorts sur cet axe.

Mouvement quelconque du solide

forces de réaction exercées sur l’axe pour que celui-ci reste fixe (voir expérience de la figure 1.40). Cette question nécessite l’usage du tenseur d’inertie complet, même s’il s’agit d’un problème avec un axe fixe. On considère le cas concret suivant, qui représente un cas particulier de roue mal équilibrée. Posons ω constant le long de u ˆ, dans une direction qui n’est pas un axe principal d’inertie (fig. 1.41). ê3 D

w ê1

ê2

Fig. 1.41 Axe ∆ fix´e, vitesse angulaire ω, le rep`ere est choisi pour avoir ω dans le plan G e ˆ1 e ˆ3 .

On choisit l’axe Gy3 comme étant l’axe de symétrie de la roue. On choisit un repère d’inertie de la manière particulière suivante. On choisit l’axe Gy1 comme celui qui est dans le plan formé par l’axe Gy3 et ω. Ainsi, dans ce repère :   ω sin θ  0 ω= ω cos θ et le tenseur d’inertie a la forme 

I⊥ = 0 0

0 I⊥ 0

 0 0  Ik

Il en découle LG = I⊥ ω sin θˆ e1 + Ik ω cos θˆ e3 . La dérivée par rapport au temps s’obtient en invoquant les formules de Poisson : dLG = I⊥ ω sin θ ω ∧ e ˆ1 + Ik ω cos θ ω ∧ e ˆ3 dt On calcule alors

ω∧e ˆ1 =

ω∧e ˆ3 =

e ˆ1 e ˆ2 e ˆ3

ω sin θ 0 ω cos θ

e ˆ1 e ˆ2 e ˆ3

ω sin θ 0 ω cos θ

= ω cos θ e ˆ2

= −ω sin θ e ˆ2 1

1 0 0

Les fondements de la m´ ecanique

Il vient

dLG ω2 = (I⊥ − Ik ) sin 2θ e ˆ2 = M G (1.64) dt 2 On en déduit que le moment M G est non nul en général. Le moment est nul si θ = 0 ou si (I⊥ − Ik ) = 0, ce qui revient à dire que le tenseur est isotrope (tous les moments d’inertie du tenseur diagonal sont égaux). Attention, l’expression (1.64) semble indépendante du temps, mais en fait le moment tourne avec la roue, les forces sur l’axe qui correspondent à ce moment ne sont donc pas constantes, d’o` u les secousses observées. Application

L’élaboration des équations du mouvement pour un solide indéformable peut demander un travail considérable. Il est toutefois possible de saisir l’essentiel des phénomènes observés avec des solides par une discussion qualitative (sect. 2.21) basée sur les équations de la dynamique. Les équations du mouvement pour des effets gyroscopiques sont explicitées pour plusieurs cas ` a la section 5.7. Un petit montage (problème 5.40) met en évidence des effets gyroscopiques même en l’absence d’une rotation propre de grande vitesse angulaire. Une certaine forme de stabilité des rotations des solides libres est examinée (problème 5.41). La toupie avec frottement au point d’appui clˆ ot cette série d’exemples (problème 5.42).

1.22 22.1

1.22.1

Principe de relativit´e

La relativit´e de Galil´ee

A la section 1.15 la question s’est posée d’exprimer l’accélération d’un point matériel en se référant ` a des coordonnées attachées à un référentiel dit « relatif », en rotation et en translation relativement à un référentiel dit « absolu ». On a alors établi la relation que voici : ˙ ∧ AP aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ v r (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP ) + Ω dans laquelle l’indice a se rapporte au référentiel absolu et l’indice r au référentiel relatif. Le symbole P désigne le point matériel considéré et le symbole A désigne l’origine des coordonnées attachées au référentiel relatif. Enfin Ω désigne le vecteur de vitesse angulaire du référentiel relatif par rapport au référentiel absolu. C’est sur la base d’expériences élémentaires, telles que celle du jet d’eau en rotation, du feutre déposé sur une table tournante et du pendule placé dans un train, qu’on a acquis la conviction que l’on ne peut pas appliquer la relation F = ma dans tout référentiel pour une modélisation donnée de la force appliquée F . Cependant, en absence de mouvement de rotation, Ω = 0, et en absence d’accélération du référentiel relatif, aa (A) = 0 ; il découle de la relation précédente l’égalité des accélérations ar (P ) = aa (P ). Dans ces conditions la

Principe de relativit´ e

même loi du mouvement avec les mêmes forces s’applique pour tous les référentiels en translation uniforme par rapport au référentiel absolu, et par suite, en translation uniforme les uns par rapport aux autres. Cette dernière affirmation constitue un principe de relativit´ e . Il fut énoncé pour la première fois par Galilée (fig. 1.42). Pour illustrer ce principe par un exemple, Galilée proposait de considérer la situation suivante. Des mouches sont enfermées dans un bol transparent. On observe que les mouches y volent en tout sens sans que se manifeste une direction privilégiée. Considérons maintenant le même bol placé dans un bateau avan¸cant ` a vitesse constante le long d’un rivage. On constate de nouveau que les mouches y volent en tout sens sans que se manifeste une direction privilégiée. Rien du mouvement des mouches ne nous permet de dire si le bateau se meut ` a vitesse constante ou s’il est immobile par rapport au rivage.

Fig. 1.42 Galil´ee (1564-1642).

Galilée énonce aussi le principe d’inertie : un corps ne subissant pas de force suit un mouvement rectiligne uniforme. La perspective historique montre que ce principe n’est pas évident. Les Grecs avaient énoncé le principe inverse : le mouvement cesse dès que cesse la cause qui lui a donné naissance. Au vu des considérations sur le mouvement relatif, il est clair que le principe de relativité de Galilée concerne les référentiels d’inertie. La première loi de Newton se comprend alors non pas comme une propriété des objets en mouvement, mais comme une propriété des référentiels. On notera que la propriété d’être un référentiel d’inertie peut être testée localement, dans le référentiel lui-même ! Soulignons en outre l’observation que voici. Lorsqu’un référentiel relatif est a la fois en translation (et sans mouvement de rotation) par rapport à un réfé`

Les fondements de la m´ ecanique

rentiel d’inertie et qu’il est de plus en chute libre dans un champ gravitationnel caractérisé par une accélération g, alors l’origine A du référentiel relatif présente un mouvement en accord avec l’équation de Newton aa (A) = g. Ainsi, pour tout point matériel de masse m vu du référentiel relatif subissant le même champ gravitationnel, il vient maa (P ) = maa (A) + mar (P ) = mg + F autre Subsiste donc l’égalité mar (P ) = F autre . En d’autres termes la pesanteur n’a aucune influence sur le mouvement relatif à ce référentiel en chute libre, ou sur le mouvement relatif de tout autre référentiel en translation uniforme par rapport ` a celui-ci. Ce sont de tels référentiels, en translation les uns par rapport aux autres, qui seront considérés dès maintenant dans la suite de ce chapitre. L’usage habituel veut que l’on associe à chaque référentiel un système d’axes cartésiens pour fixer la position des objets. On est ainsi amené à considérer deux systèmes de coordonnées cartésiennes associés à des référentiels en translation uniforme de vitesse v l’un par rapport à l’autre (fig. 1.44). La coordonnée x est associée ` a un axe orienté dans le sens de cette dernière vitesse et les axes des deux référentiels sont respectivement parallèles entre eux. 1.22.2

Le principe de relativit´e d’Einstein

Dans son fameux article paru en 1905, A. Einstein postule la validité du principe de relativité pour toutes les lois de la physique, y compris celles de la mécanique. De plus, il formule l’hypothèse que les constantes physiques fondamentales, telles que la vitesse de la lumière et la charge de l’électron, possèdent des valeurs identiques quel que soit le référentiel d’inertie considéré.

Fig. 1.43 Albert Einstein, 1879-1955

Principe de relativit´ e

Bien entendu une telle hypothèse n’a de sens que si l’on précise que ces grandeurs sont supposées mesurées à l’aide d’instruments construits par des procédures identiques dans chaque référentiel, ou alors construits de manière similaire dans un référentiel particulier et transportés dans un autre d’une manière précautionneuse, de telle manière à minimiser l’accélération qu’ils subissent et le temps pendant lequel ils subissent cette accélération. Que l’on pense ici ` a une horloge et ` a une règle étalon de longueur s’il s’agit de l’invariance de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide. On le constate donc, il faut commencer par faire l’hypothèse de l’invariance des appareils de mesure pour constater l’invariance des grandeurs fondamentales de la physique. Donc la seule chose que l’on peut effectivement tester c’est l’absence de contradiction dans une telle démarche, autrement dit que l’hypothèse de l’invariance des appareils de mesure entraˆıne bien l’observation de l’invariance des grandeurs fondamentales [12, p. 60]. Einstein faisait remarquer : « Si, sans trop me faire de scrupule et sans entrer dans des explications détaillées, je définis la tâche de la Mécanique dans les termes suivants : La Mécanique doit décrire comment les corps changent de lieu avec le temps ; je charge ma conscience de quelques péchés mortels contre le saint esprit de la clarté, et ces péchés doivent tout d’abord être dévoilés. » [13] En mécanique newtonienne, si on considère deux référentiels matérialisés par les systèmes de coordonnées cartésiennes de la figure 1.44, la relation entre les deux systèmes de coordonnées est donnée par les égalités suivantes : x0 = x − vt y0 = y

(1.65)

z0 = z z

x' v

Fig. 1.44 Deux systèmes de coordonnées associés a ` deux référentiels en translation uniforme l’un par rapport a ` l’autre.

Le passage d’un tel système de coordonnées à l’autre, c’est-à-dire le passage des coordonnées décrivant la position d’un objet dans l’un des systèmes aux coordonnées décrivant la position du même objet dans l’autre système, est appelé transformation de Galil´ ee. La loi de la composition des vitesses s’obtient lors du développement de la cinématique du mouvement relatif. Pour le cas présent et en se limitant à la direction x, on obtient la relation x˙ 0 = x−v. ˙ Au tournant du xxe siècle, H. A. Lorentz et H. Poincaré déterminèrent la loi de transformation des champs électriques et magnétiques et des coordonnées

Les fondements de la m´ ecanique

préservant les lois de l’électromagnétisme lors d’un changement de référentiel. H. Poincaré et H. A. Lorentz sont parvenus à la conclusion qu’il était nécessaire d’introduire pour chaque référentiel une coordonnée « temps » qui lui est propre. En accord avec les conventions d’écriture adoptées dans la figure 1.44 et en accord avec la convention qui concerne les temps t et t0 associés à chaque référentiel, les relations entre les coordonnées, appelées transformations de Lorentz , sont alors de la forme suivante [14] : t − v/c2 x x − vt 0 0 p p x = t = (1.66) 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 Dans ces relations le symbole c désigne la vitesse de la lumière dans le vide. Dans le but d’alléger l’écriture, il est fréquent d’adopter les conventions d’écriture suivantes : β=

v c

γ=p

1 1 − v 2 /c2

(1.67)

Application

On voit ` a la section 2.22 que l’application na¨ıve du principe de relativité d’Einstein ` a la propagation d’une impulsion lumineuse conduit à un paradoxe. Celui-ci sera élucidé ci-dessous par le fait que la loi de composition des vitesses doit être radicalement revue. De plus, un argument heuristique montre que la simultan´ eit´ e constatée dans un référentiel peut ne pas l’être dans un autre.

1.23 23.1

1.23.1

Cin´ematique relativiste

Les transformations de Lorentz

Parmi les conditions que doit satisfaire la transformation de Lorentz, la première est imposée par l’homogénéité de l’espace et du temps. Donc la forme de la transformation de Lorentz ne dépend pas du choix de l’origine des coordonnées ni du choix de l’origine de l’échelle de temps. En d’autres termes la transformation de Lorentz est invariante par translation dans l’espace et dans le temps. Cela implique que cette transformation est une transformation affine. Exemple 1.7 Imaginons un générateur d’impulsions lumineuses, immobile relativement à un référentiel R et situé ` a l’origine x = 0 des coordonnées attachées à ce référentiel. Ce générateur émet successivement des impulsions à intervalles de temps constants. Observées d’un référentiel R0 , relativement auquel ce générateur est en mouvement, les impulsions lumineuses apparaˆıtront comme séparées par des intervalles de temps constants si la transformation qui lie les coordonnées attachées aux deux référentiels est affine. Dans le cas contraire, ces intervalles de temps ne seraient pas constants.

Cin´ ematique relativiste

On dispose d’un exemple simple d’une telle situation lorsque la loi de transformation est de la forme t0 = At2 , o` u A désigne une constante. Des impulsions lumineuses produites aux instants t = 1, 2, 3 dans le référentiel R sont observées aux instants t0 = A, 4A, 9A dans le référentiel R0 . Or le choix que l’on fait de l’origine du temps ne devrait en rien affecter le comportement physique du dispositif utilisé. Si la transformation qui lie les coordonnées et les temps associés aux deux référentiels n’était pas affine, les intervalles de temps deviendraient dépendants du choix de l’origine de l’échelle du temps, ce qui n’est pas acceptable. Considérons maintenant les coordonnées qui sont orthogonales à la vitesse relative des deux référentiels (fig. 1.44). Montrons que pour ces coordonnées on peut toujours imposer les conditions y 0 = y ; z 0 = z. Pour s’en convaincre imaginons disposer d’un réseau formé de barreaux servant d’étalons de longueur, alignés l’un suivant l’autre et orientés selon la direction fixée par l’axe Oy. Le même dispositif est alors répété translaté selon les mêmes intervalles réguliers par rapport ` a l’axe Ox. On obtient ainsi un réseau de points équidistants formés de carrés adjacents. Imaginons encore qu’un réseau similaire est attaché au référentiel R0 en mouvement de translation uniforme par rapport au référentiel R. Si, étant placé dans le référentiel R0 , on était amené à conclure que l’étalon de longueur dans le référentiel R est plus court que celui du référentiel R0 que l’on occupe, alors on est contraint d’en conclure que l’inverse, lorsqu’on échange les rˆ oles des référentiels, est également vrai. On est ainsi conduit à une contradiction. Il est donc nécessaire que les longueurs des étalons co¨ıncident. Le caractère de transformation affine imposée à la transformation de Lorentz nous amène donc ` a postuler en toute généralité une loi de transformation de la forme x0 = Ax + Bt y0 = y z0 = z (1.68) t0 = Cx + Dt Dans ces dernières relations il est bien sˆ ur sous-entendu que les coefficients A, B, C, D dépendent de la vitesse v du référentiel R0 relativement au référentiel R (conventionnellement désigné comme étant immobile ; fig. 1.44). Dans les relations (1.68), l’origine O0 , de coordonnée x0 = 0, attachée au référentiel R0 occupe la position x = 0 à l’instant t = 0 relativement au référentiel R. La vitesse avec laquelle cette origine O0 se déplace relativement à ce référentiel R est v. Selon les relations (1.68) la vitesse de déplacement de x l’origine O0 vaut xt = − B A . Or cette vitesse doit avoir la valeur t = v et par conséquent : B = −vA (1.69) Considérons maintenant l’inverse de la transformation (1.68). Elle se détermine aisément. Posons d’abord ∆ = AD − BC

(1.70)

Les fondements de la m´ ecanique

Cette transformation inverse s’´ecrit alors Dx0 − Bt0 ∆ −Cx0 + At0 t= ∆ x=

(1.71)

comme on le vérifie aisément. Selon cette dernière relation la vitesse de l’origine O, de coordonnée x = 0, du référentiel R relativement au référentiel R0 a pour 0 B expression xt0 = D . Jusqu’ici on a évoqué l’homogénéité de l’espace. Il convient maintenant de faire intervenir l’isotropie de ce dernier comme il suit. Si dans les référentiels R et R0 on convient d’orienter les axes Ox et O0 x0 de manière opposée, alors la loi de transformation (1.68) correspond à la transformation pour une vitesse −v de R0 par rapport ` a R. x0 = Ax − Bt t0 = −Cx + Dt En vertu du principe de relativité cette loi de transformation ne doit pas différer de la loi de transformation (1.71), les rôles des variables (x, t) et x0 , t0 étant échangés (fig. 1.45). Autrement dit, il est nécessaire que les conditions suivantes soient satisfaites : D =A ∆

B =B ∆

C =C ∆

A =D ∆

Par cons´equent, il faut et il suffit que A=D

∆=1

(1.72)

Il découle immédiatement de ces dernières égalités que la vitesse de l’origine O, de coordonnée x = 0, du référentiel R relativement au référentiel R0 , a pour valeur −v. En effet il découle des égalités précédentes que v0 =

x0 B B = = = −v t0 D A

(1.73)

Jusqu’ici les conditions qui ont été imposées sont identiques à celles que l’on impose ` a la loi de transformation de Galilée. Dégageons maintenant les conséquences de la condition d’invariance de la vitesse de la lumière. Il découle immédiatement de la loi de transformation (1.68) que la vitesse u0 , vue du référentiel R0 , pour un point animé d’une vitesse u par rapport au référentiel R, est donnée par l’expression u0 =

Au + B u−v = Cu + D u C/A + 1

Donc l’invariance de la vitesse de la lumi`ere impose la condition restrictive suppl´ementaire suivante : c=

c−v v =⇒ C = −A 2 c C/A + 1 c

Cin´ ematique relativiste

L x

y L

−1

L∗

y L∗ x

Fig. 1.45 Dans la configuration de la figure 1.44 on définit L et son inverse L−1 . On définit alors L∗ pour des axes obtenus par inversion. On reproduit ce dessin après une rotation de 180 degré. On constate que L−1 ≡ L∗ pour autant qu’on intervertisse les coordonnées avec et sans primes.

Finalement cette restriction a pour premi`ere cons´equence que la loi de la composition des vitesses prend la forme u0 =

u−v 1 − uv/c2

(1.74)

La seconde conséquence est que l’égalité ∆ = 1 entraˆıne les égalités qui suivent : v2 1 ∆ = AD − BC = 1 − 2 A2 = 1 =⇒ A = ± p c 1 − v 2 /c2 Il découle donc des résultats qui viennent d’être établis que la loi de transformation des coordonnées (1.68) prend la forme finale que voici : x − vt x0 = p 1 − v 2 /c2 y0 = y

z0 = z 2

t − vx/c t0 = p 1 − v 2 /c2

(1.75)

1.23.2

Les fondements de la m´ ecanique

Mesure de l’intervalle espace-temps

De manière ` a pouvoir raisonner aisément dans le cadre de cette nouvelle cinématique, o` u le temps joue un rôle si différent de celui qu’il joue dans notre schéma de pensée habituel, nous allons adopter l’usage qui consiste à considérer non plus des points de l’espace, mais des événements caractérisés par un lieu et par un instant. Dans ce schéma conceptuel le temps qui situe un événement prend ainsi le rˆ ole d’une coordonnée qui vient s’ajouter aux 3 coordonnées qui situent l’endroit auquel l’événement s’est produit. Un événement est donc caractérisé par 4 coordonnées (x, y, z, t) ou encore par un point dans un espace a 4 dimensions appelé espace-temps. Attirons toutefois l’attention du lecteur ` sur le fait que la notion d’espace-temps fournit le cadre d’un usage très commode sur le plan formel. On n’est pas ici en train d’assimiler l’espace-temps au cadre dans lequel se déroulent les phénomènes physiques, contrairement à ce que certains écrits populaires ont tenté de nous faire croire durant la première moitié du xxe siècle. Le concept mathématique d’espace-temps permet d’introduire de nouvelles notions de distance spatio-temporelle qui vont jouer un rôle extrêmement important sur le plan pratique. En voici les définitions. Soient deux événements A et B de coordonnées (xA , yA , zA , tA ) et (xB , yB , zB , tB ) relativement ` a un référentiel R et soit p (1.76) ∆AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 la distance spatiale qui les sépare. Ces deux événements sont dits séparés par un intervalle du genre temps lorsque ∆AB < c|tA − tB |. En revanche ils sont dits séparés par un intervalle du genre espace lorsque ∆AB > c|tA − tB |. Lorsque les événements A et B sont séparés par un intervalle du genre temps on appelle mesure de cet intervalle (ou encore distance spatio-temporelle du genre temps) entre ces événements la durée τAB fournie par l’expression : τAB =

1 c

c2 (tA − tB )2 − ∆2AB

(1.77)

On appelle temps propre le temps écoulé entre deux événements observés du référentiel o` u ∆AB = 0. Lorsque les événements A et B sont séparés par un intervalle du genre espace on appelle mesure de cet intervalle (ou encore distance spatio-temporelle du genre espace) entre ces événements, la distance dAB définie comme suit : q (1.78) dAB = ∆2AB − c2 (tA − tB )2 Au sujet de ces définitions deux remarques peuvent être faites. La première concerne la limite non relativiste des notions qui précèdent. A la limite non relativiste, lorsque la vitesse de la lumière c est supposée infinie, les mesures

Cin´ ematique relativiste

d’un intervalle ne sont autres que la durée τAB = |tA − tB | et la distance spatiale dAB = ∆AB qui sépare deux événements simultanés. Dans cette limite on retrouve donc les invariants galiléens que sont la durée d’un intervalle de temps et la distance spatiale qui sépare deux points. La deuxième remarque que l’on souhaite formuler concerne le langage usuellement adopté dans beaucoup d’ouvrages et qui consiste à désigner de manière abrégée la mesure d’un intervalle d’espace-temps par l’expression raccourcie d’intervalle. Dans la suite de cet ouvrage c’est la terminologie que nous voulons adopter car le présent contexte est tel qu’il ne permet pas de confusion. L’intérêt des notions d’intervalles introduites précédemment réside dans le fait de la proposition qui suit. Proposition 1.25 Invariance de l’intervalle spatio-temporel. L’intervalle d’espace-temps, autrement dit les grandeurs τAB ou dAB possèdent des valeurs qui sont indépendantes du référentiel d’inertie choisi ou alors, comme on le dit parfois, ces grandeurs sont des invariants relativistes. ´monstration. Pour vérifier cette affirmation, il suffit d’appliquer la transDe formation de Lorentz (1.66) aux définitions (1.77) et (1.78), moyennant quelques manipulations algébriques. Inversement, si l’on exige simultanément l’invariance de tout intervalle d’espace-temps de même que la linéarité de la loi de transformation qui lie les coordonnées associées aux référentiels, on est amené à en conclure que cette dernière transformation est une transformation de Lorentz [12, sect. L4-L6]. Les paradoxes cinématiques apparents abondent en relativité restreinte. Ils proviennent généralement de l’habitude de penser la simultanéité en terme d’absolu, donc une notion indépendante du référentiel auquel on se réfère. Il est souvent plus aisé de développer une vision claire en faisant usage de la notion d’intervalle d’espace-temps précédemment introduite et du caractère invariant relativiste de cette dernière notion. 1.23.3

Composition des vitesses

Considérons ` a nouveau les deux référentiels R et R0 de la figure 2.85. La relation entre les vitesses dx0 dx vx0 = 0 et vx = dt dt d’un même objet vu de ces deux référentiels est donnée par vx 0 =

vx − v 1 − v · vx /c2

(1.79)

En effet, par le biais des transformations de Lorentz, on peut déterminer la loi de composition des vitesses relatives à ces deux référentiels à l’aide de la forme différentielle des relations (1.66) que voici : dt − v/c2 dx dx − v dt 0 0 dx = p dt = p 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2

Les fondements de la m´ ecanique

Ainsi vx 0 =

dx0 dx − v dt vx − v = = dt0 dt − (v/c2 ) dx 1 − v vx /c2

La transformation de Galilée, quant à elle, impliquait simplement l’addition des vitesses. La cinématique a donc profondément changé ! Exemple 1.8 Considérons l’exemple d’une particule qui se déplacerait à la vitesse de la lumière. Dans ces conditions : vx = c vx 0 =

c−v =c 1 − v/c

C’est bien ce que l’on avait initialement impos´e pour la vitesse de la lumi`ere !

Exemple 1.9 Considérons deux particules qui entrent en collision avec des vitesses vx0 = 0,9 c et vx0 = −0,9 c relativement à un référentiel R0 . Quelle est alors la vitesse relative d’une particule par rapport à l’autre ? Prenons pour R le référentiel par rapport auquel l’une des particules est au repos. R0 a la vitesse V = 0,9 c par rapport à R. Par rapport à R, l’autre particule présente la vitesse : vx0 + V 1,8 · c vx = = = 0,994 · c 2 1 + vx0 V /c 1 + (0,9)2

Application

Ainsi, des arguments de symétrie parfaitement raisonnables sur des considérations d’ordre mécanique ont permis d’aboutir aux transformations de Lorentz, qui avaient été obtenues en considérant la question du changement de référentiel en électrodynamique. Ces considérations donnent lieu à des effets cinématiques connus comme « la contraction des longueurs » et « la dilatation du temps », décrits ` a la section 2.23.

1.24 24.1

Aper¸cu de dynamique relativiste

Dans cette très brève introduction aux notions de dynamique en relativité restreinte, on va chercher ` a acquérir un sens de l’origine et de la signification de la fameuse équation E = mc2 . On prendra conscience aussi du contexte théorique correct qui donne lieu ` a l’ou¨ı-dire (incorrect) selon lequel, en relativité, « la masse dépend de la vitesse ».

Aper¸cu de dynamique relativiste

Dans le cadre de la cinématique relativiste, nous avons introduit la notion d’événement, chaque événement étant caractérisé, par rapport à un référentiel, par un lieu et par un temps. Ensuite, nous avons introduit la notion d’intervalle d’espace-temps entre deux événements. Avec les relations (1.77) et (1.78) on associe une mesure aux intervalles d’espace-temps et cette mesure est un invariant relativiste, autrement dit, il ne dépend pas du référentiel auquel on se réfère. Dans un diagramme espace-temps deux événements sont représentés par deux points. Un vecteur position de l’espace-temps con¸cu comme un espace vectoriel possède une composante temporelle x0 = ct et trois composantes spatiales x = (x1 , x2 , x3 ). On dispose ainsi d’un espace vectoriel de dimension 4. On convient d’appeler un quadri-vecteur position un vecteur (x0 , x1 , x2 , x3 ) de cet espace. On a vu que la « métrique », qui dans la littérature est souvent désignée du terme de pseudo-métrique, dont il convient de munir cet espacetemps afin de mesurer des intervalles d’espace-temps, est basée sur la forme quadratique invariante : −(x0 )2 + x2 = −c2 t2 + x2 Lorsque deux événements sont séparés par un intervalle du genre temps, la valeur de cette forme quadratique est négative. La mesure de l’intervalle qui les sépare est alors donné par l’expression invariante (1.77). Par contre, lorsque ces événements sont séparés par un intervalle du genre espace, la forme quadratique ci-dessus est positive et la distance invariante qui les sépare est donnée par l’expression (1.78). 1.24.1

L’énergie-quantité de mouvement en relativité

Il s’agit maintenant de reformuler les lois de la mécanique de manière à les rendre compatibles avec les transformations de Lorentz et avec l’interprétation qui leur est attribuée dans le cadre de la théorie de relativité restreinte. Dans ce but, commen¸cons par remarquer que la relation bien connue p = mv = m

dx dt

(1.80)

entre la quantité de mouvement et la vitesse sur laquelle est fondée la mécanique newtonienne doit être d’autant plus exacte que la vitesse v est, en norme, beaucoup plus faible que la vitesse de la lumière. En fait, cette considération ne nous laisse aucune liberté de choix car elle est vraie quel que soit le référentiel d’inertie considéré. La seule forme que peut adopter la relation qui précède dans le cadre relativiste est celle ` a laquelle on est conduit en y rempla¸cant le temps par le temps propre associé au point matériel considéré. Cette forme est donc la suivante : dx p=m (1.81) dτ Le symbole m désigne la masse du point matériel, cette masse étant une constante physique attachée a` ce point matériel. Rappelons que le temps propre

Les fondements de la m´ ecanique

est un invariant et que, par conséquent, la relation précédente a une contrepartie temporelle qui est nécessairement de la forme p0 = m

d(ct) dt = mc dτ dτ

(1.82)

Or rappelons-le, vu (2.97) : dt 1 =p dτ 1 − v 2 /c2

(1.83)

et dans ces conditions : p0 m m v2 =p =m+ + ··· c 2 c2 1 − v 2 /c2 Ainsi la grandeur p0 c co¨ıncide à faible vitesse avec l’énergie cinétique galiléenne au terme additif mc2 près. Il convient donc d’interpréter dorénavant cette dernière grandeur : p0 c = E = p

mc2 1 − v 2 /c2

(1.84)

comme l’énergie E de la particule libre. Autrement dit les grandeurs E/c, p sont les quatre composantes d’un quadri-vecteur et lors d’un changement de référentiel ces dernière grandeurs se transforment selon les transformation de Lorentz. En particulier la forme quadratique − p0

+ p2 = −

2 2 2 E2 2 2 −c dt + dx + p = m = −m2 c2 c2 dτ 2

(1.85)

est un invariant relativiste. Cette dernière relation est souvent appelée condition de masse dans la littérature. On peut aussi l’écrire p p E = p2 c2 + m2 c4 = c p2 + m2 c2 (1.86) 1.24.2

Quantit´e de mouvement relativiste

Vu la relation (1.83) entre le temps propre τ et le temps t, la définition (1.81) implique que mv dx dt p=m =p (1.87) dt dτ 1 − v 2 /c2 Cette forme de l’expression de la quantité de mouvement a incité de nombreux auteurs ` a introduire la notion de « masse relativiste » : m mv = p (1.88) 1 − v 2 /c2 pour se conformer ` a la forme newtonienne de l’expression de la quantité de mouvement mentionnée précédemment sous (1.80). Cette approche peut conduire

Aper¸cu de dynamique relativiste

` des confusions et donner lieu à une vulgarisation erronée. En fait, il convient a de considérer la masse m comme une grandeur invariante relativiste puisqu’il s’agit d’une caractéristique dynamique attachée à l’objet considéré. A partir des expressions des composantes temporelles et spatiales de la quantité de mouvement (1.87) et (1.84), on tire la relation v pc = c E 1.24.3

Energie relativiste

L’expression mc2 E= p 1 − v 2 /c2

(1.89)

implique que, pour une particule au repos, la valeur de l’énergie est E = mc2 . En relativité restreinte, le zéro de l’énergie est donc fixé à partir de la masse de la particule. Cette situation se distingue de celle que l’on rencontre en mécanique newtonienne. En fait l’énergie est définie à une constante additive près dont le choix est arbitraire. Le choix de la constante mc2 est celui qui permet de conserver ` a la loi de transformation de la quantité de mouvement la « forme (8) d’une transformation » de Lorentz . L’´ energie-quantit´ e de mouvement totale (quadri-vecteur) d’un syst` eme isol´ e est conserv´ ee, en dynamique relativiste comme l’est en dynamique newtonienne la quantité de mouvement totale (mv). Autrement dit l’énergie totale est conservée de même que la quantité de mouvement totale (trivecteur). Cette loi de conservation est donc vraie qu’il s’agisse d’une collision entre particules, d’une réaction nucléaire ou d’un processus d’annihilation d’une particule avec une antiparticule. Au contraire, en mécanique newtonienne, on s’en souvient, pour un choc inélastique (comme deux balles qui s’accolent), on ne pouvait utiliser que le principe de conservation de la quantité de mouvement newtonienne mv. Pour en revenir ` a la dynamique relativiste, l’énergie cinétique proprement dite T d’une particule libre est obtenue en soustrayant l’énergie au repos mc2 a l’énergie E : ` mc2 T =p − mc2 (1.90) 2 2 1 − v /c Un développement limité par rapport à la vitesse montre qu’à la limite des vitesses beaucoup plus faibles que celle de la lumière, la grandeur T tend vers (8)

Autrement, en toute g´ en´ eralit´ e, cette loi aurait la forme d’une transformation de Lorentz ` a laquelle vient s’ajouter une transformation de jauge. Faire intervenir une transformation de jauge est parfaitement l´ egitime et cette transformation de jauge pourrait ˆ etre choisie de telle mani` ere que la convention qui fixe le z´ ero de l’´ energie en dynamique relativiste soit la mˆ eme qu’en physique newtonienne. Fixer le z´ ero de l’´ energie de mani` ere a ` pr´ eserver la forme de la loi de transformation de l’´ energie-quantit´ e de mouvement quel que soit le changement de r´ ef´ erentiel d’inertie concern´ e est donc un choix tr` es commode [14].

Les fondements de la m´ ecanique

l’expression usuelle en dynamique newtonienne de l’énergie cinétique comme nous l’avons déj` a remarqué précédemment : v 1 → 0 =⇒ T → mv 2 c 2 Selon une observation déjà mentionnée, les lois de la dynamique newtonienne deviennent, en dynamique relativiste, d’autant plus correctes que la vitesse de l’objet concerné est faible par rapport à la vitesse de la lumière, et elles deviennent exactes ` a vitesse nulle. C’est notamment le cas de la deuxième loi de Newton. Ce fait a pour conséquence de fixer la forme de cette dernière loi en relativité restreinte. Il suffit, dans la deuxième loi de Newton, de substituer le temps propre τ attaché ` a la particule au temps t attaché au référentiel. En d’autres termes, la deuxième loi de Newton est remplacée en relativité restreinte par la loi suivante : dp =F (1.91) dτ Bien entendu, dans cette égalité, on se réfère à la quantité de mouvement relativiste (1.87). Dans cette dernière équation le membre de gauche est la composante spatiale du quadri-vecteur dont la composante temporelle n’est autre que la grandeur E/c2 . Or, compte tenu de la relation (1.84) et de la condition de masse (1.86) puis de la deuxième loi de la dynamique (1.91), on aboutit à la relation : dp0 1 dE cp dp cp · F = = = dτ c dτ E dτ E L’équation (1.91) est donc complétée par une contrepartie temporelle qui s’écrit dp0 cp · F v·F = F0 avec F 0 = = (1.92) dτ E c La variation par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un point matériel qui subit l’effet d’une force F est ainsi donnée conformément à une extension du théorème de l’énergie cinétique. En effet, il découle de la loi (1.91) que v·F =v·

dp d mv p =v dτ dτ 1 − v 2 /c2

(1.93)

Par intégration de l’équation différentielle (1.93), compte tenu de l’expression (1.90) de T , on est conduit ` a l’égalité : Zτ2 F · v dτ = T (τ2 ) − T (τ1 ) τ1

Aper¸cu de dynamique relativiste

Exemple 1.10 Tout comme le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire d’une particule dans l’espace, le quadri-vecteur énergie-quantité de mouvement est tangent a la ligne univers dans l’espace-temps (fig. 1.46). ` temps ligne d’univers

direction de E

espace direction de cp

Fig. 1.46 Quadri-vecteur ´energie-quantit´e de mouvement tangent a ` la ligne univers.

Application

Les équations de la dynamique relativiste permettent d’introduire la notion d’une particule sans masse, se dépla¸cant à la vitesse de la lumière : le photon (sect. 2.24). On notera aussi l’analyse à la section 3.24 d’une expérience fournissant l’énergie d’une particule en fonction de sa vitesse. On y trouve aussi la notion relativiste de masse d’un système, avec quelques applications de la loi E = mc2 .

Euler, 1701-1783

« En l’an 1752 paraˆıt finalement son traité avec le titre surprenant pour nous : “Découverte d’un nouveau principe de la mécanique”. Le nouveau principe dont il est sujet ici, c’est précisément celui qu’on connaˆıt de nos jours comme la loi du mouvement de Newton, c’est-à-dire la représentation analytique de la relation : force = masse accélération. » [1]

Chapitre 2

Pratique de la m´ ecanique « Les postulats de la mécanique tiennent en quelques lignes. Comme il ne s’agit pas plus de les démontrer que n’importe quel autre principe, un cours de mécanique rationnelle est une collection d’exemples qui leur servent d’illustration. Les cours ne diffèrent donc que par le choix des exemples et l’esprit dans lequel on les traite, ce qui suffit ` a les rendre très dissemblables. » H. Bouasse [15]

2.1

Objectifs de formation

Avant d’appréhender les grands principes de la mécanique sous la forme de quelques postulats (sect. 1.3), il est possible de s’initier à quelques problèmes de mécanique en se basant sur un apprentissage plus élémentaire reposant sur la loi F = ma. Cela permet de prendre conscience des ambitions et des limitations du projet qui fait la quintessence de la mécanique rationnelle. Les problèmes de balistique dans le champ de la pesanteur (sect. 2.3 et 2.4) et le modèle de l’oscillateur harmonique (sect. 2.5, 2.10, 2.11) sont deux exemples qui mettent en scène les éléments de la démarche mécaniste en utilisant simplement les coordonnées cartésiennes. Avec la balistique, on apprend à examiner avec les outils mathématiques actuels les situations physiques considérées par Galilée. Celui-ci avait notamment compris qu’on pouvait penser le mouvement en sa composante verticale et celle horizontale, ce qui, de nos jours, correspond à choisir un système d’axes cartésiens particulier. On clarifiera aussi la question de la période des pendules. S’il est un fait que l’indépendance de cette période avec la masse conduit au modèle de la pesanteur, l’outillage mathématique nous permettra d’explorer la période aux grandes amplitudes (sect. 2.9).

Pratique de la m´ ecanique

Avec l’oscillateur harmonique, on découvre que l’application d’une loi physique comme la deuxième loi de Newton conduit à une ´ equation diff´ erentielle. L’exploitation de solution analytique de l’oscillateur harmonique permet de présenter des concepts importants de la technique : le phénomène de résonance, la réponse harmonique, le facteur de qualité d’un résonateur. L’exemple de la gravitation (sect. 2.13) permet d’illustrer une démarche qui part de l’observation (les lois de Kepler) et aboutit à une loi de force (la loi de la gravitation). La balistique illustre un exemple de d´ eterminisme simple. Au xviiie siècle, Laplace [16] espérait trouver une « équation du monde » qui « embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’Univers et ceux du plus léger atome ». La loi de la gravitation universelle de Newton permettait de rendre compte de la forme et des propriétés des orbites des planètes, énoncées par Kepler. Un tel succès frappa l’imagination de l’humanité. Cette nouvelle science moderne, mécaniste, allait-elle pouvoir tout expliquer ? Nous devons reconnaˆıtre que de nos jours encore, nous sommes attirés par l’espoir d’une telle simplicité. Deux siècles d’enthousiasme créèrent une habitude de pensée et un obstacle épistémologique. Un mathématicien et physicien de génie nous sortit de cette torpeur simplificatrice. Poincaré réalisa que les solutions des équations de la mécanique ne suivaient pas toutes des schémas aussi simples. Il fallut cependant encore des décennies avant qu’une prise de conscience collective ne s’établisse. Des chercheurs redécouvrirent par eux-mêmes les intuitions de Poincaré, vers le milieu du xxe siècle. L’accès ` a des solutions numériques obtenues par des ordinateurs de plus en plus accessibles contribua à diffuser dans les consciences la possibilité d’une telle complexité [17]. De nos jours, la th´ eorie du chaos est reprise par tout un chacun. Les sociétés internationales créent des divisions de physique des systèmes « non linéaires » dans lesquels cette problématique apparaˆıt. Les livres de vulgarisation sur le chaos abondent. La sensibilité aux conditions initiales (« l’effet papillon ») et les bifurcations font maintenant presque partie du vocabulaire du grand public. Une introduction au chaos reléguée au chapitre suivant (sect. 3.9) a pour but de mettre en garde contre une vision trop na¨ıve du déterminisme qu’on pourrait développer à la suite des calculs de balistique ou d’oscillateurs harmoniques. L’application des lois de Newton à un système de points matériels conduit à des principes de conservation. Ceux-ci permettent de faire des prédictions sur les collisions (sect. 2.12) et d’aborder la dynamique des solides par des arguments heuristiques (sect. 2.21). Les effets gyroscopiques nécessitent d’aller au-del` a du mod` ele du pont mat´ eriel. Pour explorer la dynamique des solides indéformables, il faudra s’avancer dans le calcul du tenseur d’inertie d’un solide pour en déduire son moment cinétique, qui n’est pas forcément le long de l’axe de rotation. On pourra alors expliquer les contraintes exercées sur les axes de rotation par des solides en rotation rapide. Mise en contexte

La m´ecanique, reconnue comme science exacte, permet de voir concr`etement ce qu’on peut attendre d’une explication scientifique. On verra notam-

Rep` eres

ment comment le mouvement d’une toupie est « expliqu´e »par les lois de la m´ecanique. La section 3.1 discute plus avant la notion d’explication scientifique.

2.2

Rep`eres

La cinématique du point matériel fait intervenir trois grandeurs vectorielles : la position, la vitesse et l’accélération. On aura besoin pratiquement de travailler avec les composantes de ces vecteurs selon un système d’axes choisis. Ce système d’axes ne sera pas forcément le référentiel ! Les composantes des vecteurs sont leurs projections sur ces axes. Deux outils permettent de définir les composantes d’un vecteur : le repère et le produit scalaire. On considère un système d’axes cartésiens Ax1 x2 x3 . On admet qu’on s’est donné une unité de longueur. On appelle alors vecteur unit´ e un vecteur libre dont la norme vaut 1. Notons x ˆ 1 , x ˆ2 , x ˆ3 les vecteurs unités portés par les trois axes. On appelle A, x ˆ1 , x ˆ2 , x ˆ3 un rep` ere (fig. 2.1). x3

Fig. 2.1 Rep`ere.

Dans cet ouvrage, quand on parle d’un repère (A, e1 , e2 , e3 ), il s’agit toujours d’un repère « orthonormé direct ». Les trois vecteurs e1 , e2 , e3 sont orthogonaux, leur norme vaut 1. « Direct » veut dire que les vecteurs unités obéissent a la règle du tire-bouchon ou règle de la main droite (fig. 2.2). ` e3

Fig. 2.2 La r`egle du tire-bouchon a ` gauche, la mauvaise orientation de e3 a ` droite.

2.4

Pratique de la m´ ecanique

Le tire-bouchon tourne comme e1 tourne sous l’action de e2 si e2 représentait une force attachée ` a l’extrémité de e1 . Il tourne en avan¸cant dans le sens de e3 . On peut aussi imaginer que ce même mouvement hypothétique de e1 et e2 est suivi par 4 des doigts de la main droite, laissant le pouce pointé dans la direction de e3 . Il est fréquent de matérialiser un référentiel par un système d’axes cartésiens. De l` a vient la confusion chez certains entre référentiel et repère. Dans les problèmes de balistique résolus en coordonnées cartésiennes, il est sous-entendu que le système d’axes constitue un référentiel et le repère, dans ce cas, est simplement lié au référentiel (sect. 2.3). Il est indispensable de faire la distinction entre le référentiel (base de la cinématique) et le repère (outil mathématique). La cinématique en coordonnées généralisées met en évidence cette distinction de fa¸con particulièrement saisissante, puisque dans ce cas, on utilise un repère lié au point matériel en mouvement plutôt qu’un repère lié au référentiel (sect. 1.7).

2.2.1

Produit scalaire, produit vectoriel

Produit scalaire

Il s’agit ici de rappeler quelques propriétés élémentaires du produit scalaire, dans le but essentiellement de fixer les notations. Considérons un système d’axes cartésiens d’origine O et un point P de coordonnées (x, y, z). Le vecteur a = OP a les composantes (x, y, z). Soit un autre vecteur b de composantes x0 , y 0 , z 0 . Le produit scalaire peut être défini par a · b = xx0 + yy 0 + zz 0 On considère maintenant deux vecteurs orthogonaux de même origine. On peut construire un système d’axes de coordonnées avec l’axe des x le long du premier vecteur a et l’axe des y le long du deuxième, b. Alors le produit scalaire vaut a · b = 0. Dans le cas de deux vecteurs a et b quelconques, on peut décomposer a en la somme d’un vecteur parallèle ak et d’un vecteur perpendiculaire a⊥ ` a b : a = a⊥ + ak avec a⊥ · b = 0 et ak · a⊥ = 0 (fig. 2.3). Alors, on a en utilisant la définition du produit scalaire en termes des composantes des vecteurs sur des axes cartésiens portés par a⊥ et b : a · b = ak · b = |a| cos θ|b|, o` u θ est l’angle entre les deux vecteurs. b a || q

Fig. 2.3 Dessin auxiliaire pour le produit scalaire de deux vecteurs a et b.

Rep` eres

Pour un repère A, x ˆ1 , x ˆ2 , x ˆ3 orthonormé, on a x î · x ˆj = δij ,

i, j = 1, 2, 3

Le symbole δij , appel´e symbole de Kronecker, prend la valeur 1 si les indices sont ´egaux, la valeur 0 sinon : ( 1 si i = j δij = 0 si i 6= j Produit vectoriel

Soient deux vecteurs donnés par leurs composantes sur un repère A, x ˆ1 , x ˆ2 , x ˆ3 . Le produit vectoriel se calcule selon la règle :

 

a2 b3 − a3 b2

ˆ1 a1 b1

ˆ2 a2 b2

=  a3 b1 − a1 b3  a ∧ b =

x ˆ3 a3 b3

a1 b2 − a2 b1 =x ˆ1 (a2 b3 − a3 b2 ) + x ˆ2 (a3 b1 − a1 b3 ) + x ˆ3 (a1 b2 − a2 b1 ) Le produit mixte (a ∧ b) · c peut se calculer comme le d´eterminant :

c1 a1 b1

(a ∧ b) · c =

c2 a2 b2

c3 a3 b3

Des règles du calcul des déterminants, il vient ainsi : (a ∧ b) · c = (c ∧ a) · b = (b ∧ c) · a Quand deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul. Par conséquent : (a ∧ b) · a = (a ∧ b) · b = 0 Cela signifie que a ∧ b est normal au plan contenant a et b. On veut maintenant établir la relation entre la norme du produit vectoriel de deux vecteurs et les normes des deux vecteurs. Pour se faire, on décompose un des vecteurs en un vecteur parallèle et un vecteur perpendiculaire à l’autre vecteur : a = a⊥ + ak avec a⊥ · b = 0 et ak · a⊥ = 0 (fig. 2.4). Alors ak ∧ b = 0 et a ∧ b = a⊥ ∧ b. On peut imaginer encore une fois un système d’axes portés par a⊥ et b, alors la définition implique que la norme du produit vectoriel est donnée par |a ∧ b| = |a⊥ ||b| = |a||b|| sin θ|. Si (a ∧ b) · c = 0 alors a ∧ b est perpendiculaire à c, donc a, b et c sont dans le même plan et il existe λ et µ tels que c = λa + µb. Une formule souvent utilisée est a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c (2.1) Une fa¸con de la démontrer est de faire le développement de l’expression :

ˆ1 a1 (b2 c3 − b3 c2 )

ˆ2 a2 (b3 c1 − b1 c3 )

x ˆ3 a3 (b1 c2 − b2 c1 )

Pratique de la m´ ecanique

a Ùb

b a ||

Fig. 2.4 Produit vectoriel de deux vecteurs et a et b.

2.2.2 2.2

Projection d’un vecteur sur axe

On consid`ere un vecteur AP et un axe orient´e (fig. 2.5). axe P' v u

P 0

Fig. 2.5 Projection AP du vecteur AP sur l’axe.

Soit u ˆ le vecteur unité porté par l’axe. La projection de AP sur l’axe est par définition AP · u ˆ = |AP | cos θ o` u |AP | est la norme du vecteur AP et θ l’angle entre le vecteur et l’axe. Soit v ˆ⊥u ˆ dans le plan AP P 0 . La somme vectorielle AP = AP 0 + P 0 P peut s’écrire AP = AP · u ˆ u ˆ + AP · v ˆ v ˆ Cette formule peut paraˆıtre d’allure étrange. Pourtant, elle exprime un résultat bien connu quand il s’agit des coordonnées cartésiennes pour lesquelles on peut écrire AP = x1 x ˆ1 + y1 y ˆ1 + z1 zˆ1 2.3

2.2.3

Mouvement rectiligne

Exemple 2.1 Le mouvement rectiligne uniforme Un point matériel se déplace en ligne droite, à vitesse constante. La trajectoire du point matériel est la droite. On définit un axe de coordonnée x associé ` a la droite, un point O sur l’axe. La définition stipule dx ˙ = v0 . dt = x On cherche x(t). On voit que x = v0 t + x0 satisfait la définition, avec x0 la position du point ` a t = 0. L’équation x = v0 t + x0 est l’équation horaire du point matériel.

La balistique

Exemple 2.2 Le mouvement rectiligne uniformément accéléré Un point matériel se déplace en ligne droite avec une accélération constante 2 a0 . On cherche x(t) tel que ddt2x = x ¨ = a0 . On voit que x(t) = 12 a0 t2 +v0 t+x0 satisfait la définition avec x0 et v0 constants. Les valeurs de x0 et v0 sont spécifiées par les conditions initiales, c’est-à-dire la position et la vitesse a l’instant t = 0 : ` x(0) = x0 v(0) = v0 La notation x, ˙ x ¨ sera utilisée systématiquement dans cet ouvrage pour désigner la dérivée première et deuxième par rapport au temps de toute variable x. Mise en contexte

La section 3.2 soulève un point essentiel de la formation scientifique : les moyens mathématiques mis en œuvre de nos jours pour présenter un sujet comme la mécanique permettent des raccourcis formidables par rapport aux développements historiques qui ont permis la mise en place d’une science comme la mécanique.

2.3

La balistique

On considère ici le mouvement d’un objet tel une balle ou un obus sous l’effet de la pesanteur et de forces de frottement éventuelles. On considère que l’objet peut être assimilé ` a un point matériel et que l’attraction terrestre est uniforme. On appelle balistique l’étude des trajectoires d’objets soumis à l’attraction terrestre ` a la surface de la Terre. La marche à suivre

La mécanique permet une appréhension méthodique de l’analyse d’un phénomène physique. Il est bon de s’imposer une démarche systématique afin de s’assurer d’une approche raisonnée. Cette manière de procéder permet aussi de fournir une analyse compréhensible et vérifiable par quiconque s’intéresserait au même problème. Etape 1 : loi de la dynamique

Nous avons besoin d’une loi physique qui stipule comment le système physique évolue quand il est soumis à une ou plusieurs forces. Dans le cas présent, nous invoquons simplement la deuxième loi de Newton sous la forme F = ma

3.2

Pratique de la m´ ecanique

Etape 2 : mod`ele de force

On observe que l’attraction terrestre donne lieu en première approximation ` a une force uniforme et constante. La direction de cette force définit la verticale et le module de la force est proportionnel à la masse m. Le coefficient de proportionnalité est noté g. Ce modèle de force est appelé pesanteur. La constante de proportionnalité vaut environ g = 9,8 m s−2 . La force de la pesanteur peut s’écrire F = mg o` u g est un vecteur ; sa direction est verticale vers le bas et son module vaut g. Une telle description approximative basée sur l’observation est souvent appelée loi ph´ enom´ enologique. Il s’agit d’une expression mathématique qui ne dérive pas d’une déduction logique à partir de principes fondamentaux. Nous verrons (sect. 1.16) que la forme et la rotation de la Terre impliquent une variation systématique du g apparent, du pôle à l’équateur. De même, la présence d’une grotte ou d’une montagne peut changer la valeur de g (exercice ??). L’importance de tels effets dépend du degré de précision avec lequel on veut bien travailler. Enfin, si le projectile s’éloigne considérablement de la Terre, il faudra se référer ` a la loi de la gravitation de Newton, car l’attraction diminue comme le carré de la distance au centre de la Terre. Faut-il invoquer d’autres forces ? Dans une première phase de notre analyse, nous supposons que l’air n’agit pas sur le mouvement. Etape 3 : choix des coordonnées

Un dessin (fig. 2.6) permet de communiquer notamment les d´efinitions de coordonn´ees sans recourir ` a de longues phrases car les conventions graphiques sont d’usage courant. z

O x0

v0 P

Fig. 2.6 Syst`eme d’axes quelconque Oxyz avec Oz vertical vers le haut. P marque la position du point mat´eriel au temps t = 0.

La balistique

On choisit l’axe Oz vertical dirigé vers le haut. On suppose une situation physique telle que le point matériel au temps t = 0 est au point P , de coordonnées (x0 , y0 , z0 ) avec une vitesse v 0 de composantes (vx0 , vy0 , vz0 ). On écrit les coordonnées et la vitesse du point matériel à t = 0 sous la forme : x(0) = x0

vx (0) = v0x

y(0) = y0

vy (0) = v0y

z(0) = z0

vz (0) = v0z

(2.2)

Ce sont les conditions initiales. Les accélérations dans les trois directions Ox, Oy, Oz s’écrivent immédiatement en termes de dérivées secondes par rapport au temps des coordonnées (x, y, z) : ax = x ¨ ay = y¨ az = z¨ Etape 4 : équations du mouvement

Pour chaque direction de l’espace Ox, Oy, Oz, la force dans cette direction est égale ` a la masse multiplié par l’accélération dans cette direction. A la section 2.2, on voit que cela revient ` a projeter la loi vectorielle ma = mg dans le repère associé aux axes cartésiens. On obtient ainsi : m¨ x=0 m¨ y=0

(2.3)

m¨ z = −mg Les équations du mouvement sont des équations différentielles. Ici, on prend l’approche qui consiste ` a se poser la question élémentaire : « quelle sont les fonctions du temps x(t), y(t) ou z(t) telles que leurs dérivées secondes par rapport au temps aient les valeurs spécifiées ? ». Il faut que ces fonctions satisfassent aussi les conditions initiales (2.2). Il est facile de voir que la solution de (2.3) est, compte tenu des conditions initiales (2.2) : x(t) = v0x t + x0 y(t) = v0y t + y0 1 z(t) = − gt2 + v0z t + z0 2

(2.4)

Si on suppose que le point matériel est à l’origine du repère cartésien quand t = 0, (2.4) devient x(t) = v0x t y(t) = v0y t 1 z(t) = − gt2 + v0z t 2

Pratique de la m´ ecanique

La trajectoire est une parabole. Pour le vérifier, il suffit d’éliminer le temps. On tire t de y(t) et on pose 2 x v0x 1 y y = z=− g + v0z y v0y 2 v0y v0y On trouve ainsi une parabole dans le plan défini par xy = v0x /v0y . Certains seront surpris que ce résultat ne soit pas aussi simple que ce qu’ils ont peut-être été habitués ` a voir. Pourquoi ? Cela vient du choix du système de coordonnées. Pour retrouver une forme de solution plus familière, on peut choisir un système de coordonnées de telle manière que le plan P xz contienne le vecteur vitesse initiale v 0 (fig. 2.7). z

v0 y

P a

Fig. 2.7 Nouveau choix de syst`eme d’axe, avec le plan P xz contenant la vitesse.

Dans ce rep`ere on a 

 v0x v0 =  0  v0z Il reste :

x(t) = v0x t y(t) = 0 1 z(t) = − gt2 + v0z t 2 On a ainsi obtenu une expression mathématique qui rend compte, en particulier, de l’observation suivante (sect. 1.1) : la hauteur d’une balle qui tombe sans vitesse initiale (v0x = 0) est la même en tout temps que celle d’une balle qui a une vitesse initiale horizontale (v0x 6= 0). Pour passer de l’équation paramétrique de la trajectoire ` a sa forme cartésienne, utilisons x = x(t) pour écrire t en fonction de x : 2 1 x x y=0 z=− g + v0z 2 v0x v0x

Balistique avec r´ esistance de l’air

A partir de ce résultat, toutes sortes de questions peuvent être analysées : • • • •

Jusqu’o` u ira le projectile ? Quelle est l’inclinaison de v 0 pour une distance de tir optimale ? Comment tirer une balle pour atteindre un singe en chute libre (fig. 2.8) ; etc.

3.3

Fig. 2.8 Une table a ` air est légèrement inclinée, le grand bord restant horizontal. Deux plots sont lˆ achés en même temps aux deux coins opposés de la table. On observe que le plot qui a une vitesse initiale non nulle, percute le plot en chute libre pour autant que la vitesse initiale pointe vers l’autre plot. On observe aussi l’écart vertical de plus en plus grand entre deux images du plot, alors que l’écart horizontal est constant entre deux images. Mise en contexte

Dans ses Principa, Newton commence son discours par une réflexion sur le temps. La question du temps ne devient intéressante du point de vue de la mécanique que lorsque les notions classiques sont remises en question par la théorie de la relativité (sect. 3.3).

2.4

Balistique avec r´esistance de l’air

Le modèle selon lequel le projectile subit la force mg est-il bon ? Si on considère une chute libre sur une très grande hauteur par exemple, on sait bien que la vitesse ne croˆıt pas jusqu’à l’infini, on en déduit immédiatement qu’il faut ajouter quelque chose ` a notre modèle. La résistance de l’air joue clairement un rˆ ole dans ce cas. Nous affinons notre modèle de force en posant : F = mg − bv o` u v est la vitesse et b > 0 est un coefficient constant. Le frottement est ainsi modélisé par une force proportionnelle à la vitesse (§ 1.14.2). Maintenant la loi « F = ma » projetée sur le même système d’axes cartésiens que le dernier choisi (fig. 2.7) donne m¨ x = −bx˙ m¨ y = −by˙ m¨ z = −mg − bz˙

4.2

Pratique de la m´ ecanique

Il est encore possible de résoudre ces équations du mouvement, on dit qu’on peut les « intégrer ». Commen¸cons par y(t) en prenant les conditions initiales : y(0) = 0

y(0) ˙ =0

On a dy˙ b = − y˙ dt m Cette équation dit que y˙ décroˆıt si y˙ est positive, y˙ croˆıt si y˙ est négative. Comme y(t ˙ = 0) = 0, y˙ = 0, d’o` u y(t) = constante et donc y(t) = 0 en vertu de la condition initiale. Considérons maintenant x(t) : x ¨=−

b x˙ m

ce qu’on peut ´ecrire par le changement de variable x˙ = v : v˙ = −

b v m

(2.5)

Cette équation est fréquemment rencontrée en physique. Elle a la solution v(t) = v(0) e−bt/m On doit intégrer encore une fois, car on en est à dx ˙ e−bt/m . Quelle est dt = x(0) la fonction dont la dérivée vaut x(0) ˙ e−bt/m ? C’est une fonction de la forme x(t) = x(0) ˙

−m b

e−bt/m + A

o` u A est une constante. En prenant la condition initiale x(0) = 0, on a donc −m 0 = x(0)( ˙ uA= m ˙ Il vient ainsi b ) + A, d’o` b x(0). x(t) = x(0) ˙ On pose

m 1 − e−bt/m b

m =τ b

(2.6)

(2.7)

Ce faisant, on applique une pratique fort recommandable en physique qui consiste ` a choisir un symbole suggestif de la nature de la grandeur désignée. Ici, l’unité physique du rapport m b est un temps, alors on adopte la lettre grecque τ pour le désigner. Ainsi x(t) = x(0)τ ˙ 1 − e−t/τ

(2.8)

Balistique avec r´ esistance de l’air

L’allure de cette fonction est donnée à la figure 2.9. Que se passe-t-il quand t → ∞ ? On a x(t → ∞) −→ x(0)τ ˙ Ainsi, sous l’effet de la friction, le déplacement horizontal ne peut pas aller plus loin que x(0)τ ˙ ! x (t) x (0)τ

Fig. 2.9 Allure caract´eristique d’une approche exponentielle a ` une valeur asymptotique.

On examine maintenant l’´equation diff´erentielle pour z(t), compte tenu de la nouvelle notation : 1 z¨ = −g − z˙ (2.9) τ

˙ est petit, c’est-`a-dire z(0) Si ˙ gτ et aussi longtemps que

initialement z(0)

z˙ reste petit, nous aurons z¨ ≈ −g. C’est le cas sans frottement traité plus haut. Puis le terme en z˙ domine, alors z˙ suit une équation comme v dans (2.5) et par conséquent z¨ → 0. A la limite des temps très long, on a donc

z˙

= −gτ limite

L’effet de friction ne devient sensible que si le temps est de l’ordre de grandeur de τ . Une grosse masse implique τ grand. Si on examine la chute d’un ballon de baudruche, on voit immédiatement l’effet de la friction. Mais avec une balle d’acier, on n’y parvient pratiquement pas ! On peut arriver ` a intégrer l’équation différentielle pour z en posant le changement de variable a = −g − τ1 z. ˙ Alors z¨ = −τ a˙ = a. On reconnaˆıt dans la dernière égalité l’équation différentielle de la forme (2.5). La variable a est donc une fonction exponentielle du temps : a = C e−t/τ , o` u C est une constante. Il reste ` a intégrer : z˙ = −τ g − τ C e−t/τ . On peut maintenant le faire immédiatement : z = −τ gt+D+τ 2 C e−t/τ , o` u D est une nouvelle constante d’intégration. Les conditions initiales z = z˙ = 0 à t = 0 imposent C = −g et D = τ 2 g. La solution est donc z = −τ gt + τ 2 g 1 − e−t/τ (2.10) A la fin d’un long calcul, il est de bonne pratique de vérifier que les unités sont cohérentes. Les deux termes obtenus sont bien de la forme gt2 , dont l’unité est une longueur, et l’exposant de l’exponentielle est bien sans dimension.

Pratique de la m´ ecanique

Il existe des outils très commodes et d’autres très puissants pour trouver des solutions numériques ` a des équations différentielles. Mathematica, par exemple, permet d’explorer des équations du mouvement aussi simples que celles de la balistique. Sa syntaxe, bien que souvent délicate, est remarquablement simple pour cette application (exercice 6.21). Deux exemples sont présentés sur les figures 2.10 et 2.11, correspondant à un frottement négligeable et à un frottement grand, pour les mêmes conditions initiales. z 0.30

0.20

0.1 0.05 0 -0.05

0.10 0.0

Fig. 2.10 Trajectoire balistique par int´egration num´erique, friction faible.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.1 -0.15

Fig. 2.11 Trajectoire balistique, friction grande.

Mise en contexte

La balistique est une problématique qui a inspiré les plus grands penseurs, dont Aristote et Galilée (sect. 3.4).

2.5 5.2

L’oscillateur harmonique

On considère ici un mouvement qui joue un rôle très important en physique : celui de l’oscillateur harmonique. Bien des systèmes mécaniques peuvent être considérés en première approximation comme des oscillateurs harmoniques. En particulier, les petits mouvements autour d’une position d’équilibre stable en ont les caractéristiques (comme on peut le voir en toute généralité avec le formalisme de Lagrange, problème 5.29). L’objectif de la mécanique étant essentiellement la mise sous forme mathématique d’un phénomène physique, il est bon de commencer cette analyse en considérant quelques types d’oscillateurs. Comme premier exemple, on considère le mouvement d’une masse suspendue dans l’air par un ressort (fig. 2.12). Il est possible d’observer un mouvement oscillatoire similaire sur un tout autre système, par exemple une barre rigide suspendue à un fil métallique tendu. On appelle un tel système un pendule de torsion (fig. 2.13).

L’oscillateur harmonique

5.4

Fig. 2.12 Un plot est relié a ` un double ressort qui évite un mode de torsion. Dans l’eau, le système s’amortit en quelques oscillations. Dans l’air, il faut des dizaines d’oscillations avant d’observer une atténuation notoire.

écran

laser

5.4

Fig. 2.13 Pendule de torsion. Un faisceau laser réfléchi sur un miroir collé au pendule permet de visualiser les oscillations sur le mur de l’auditoire.

En première approximation, ces oscillateurs ont une amplitude constante. Bien sˆ ur, il suffit d’attendre assez longtemps pour noter une décroissance de l’amplitude. Si la masse suspendue à un ressort est plongée dans de l’eau, l’amortissement est alors immédiatement visible. De même, si le fil du pendule de torsion est chauffé, l’amortissement se passe en quelques secondes au lieu de quelques minutes. Les oscillateurs harmoniques permettent d’introduire la notion de résonance. Les résonances sont parfois utiles, en particulier pour détecter des signaux faibles. C’est le cas du circuit résonnant d’une radio pour détecter les

Pratique de la m´ ecanique

ondes hertziennes. Utiliser un système résonnant pour détecter un signal très (1) faible reste toujours la stratégie de choix (fig. 2.14 ; [18], [19]) .

circuit résonant

Fig. 2.14 On peut trouver des considérations d’oscillateur harmonique partout, même dans des sujets d’actualité. Ici, un dispositif résonnant est proposé pour la détection mécanique de résonance magnétique, avec pour objectif de détecter le moment magnétique d’un seul atome.

2.5.1

Mod´elisation de la force d’un ressort

Pour la balistique, nous avions commencé par donner un modèle de force, la pesanteur. Ici nous procédons de même. Une simple expérience avec des masses pendues ` a un ressort justifie le modèle de force de rappel selon lequel la force est proportionnelle ` a l’élongation du ressort (fig. 2.15). Soit Ox un axe de coordonnée parallèle au ressort, x la coordonnée qui définit la position de l’extrémité mobile du ressort, O la position de l’extrémité du ressort libre, F la projection sur cet axe de la force du ressort (sect. 2.2), alors F = −kx o` u k > 0 est une constante appelée la constante élastique du ressort. Le signe indique que la force s’oppose à l’élongation. Fort de cette observation, on définit l’oscillateur harmonique. On appellera oscillateur harmonique tout système équivalent à un point matériel astreint a se déplacer en ligne droite et soumis à une force de rappel proportionnelle à la ` distance ` a un point fixe sur cette droite. La forme de l’équation du mouvement définit l’équivalence. (1)

Onze ans apr` es la proposition faite dans [18], un des auteurs, Rugar, et son ´ equipe ` a IBM Almaden sont parvenus ` a d´ emontrer la d´ etection d’un spin ´ electronique.

L’oscillateur harmonique

5.4

Fig. 2.15 La force exerc´ee par un ressort est trouv´ee approximativement proportionnelle ` a son allongement.

Soit un point matériel de masse m astreint à se déplacer sur un rail à air horizontal et soumis ` a la seule force de rappel d’un ressort parallèle au rail. On définit un axe des coordonnées Ox parallèle au rail à air, dont l’origine O est la position de l’extrémité du ressort au repos. La force de rappel est F = −kx, o` u k est une constante. On fait appel à la deuxième loi de Newton. L’accélération est simplement donnée par x ¨. Ainsi, l’équation du mouvement est m¨ x = −kx

(2.11)

On obtient une équation différentielle distincte de celles vues en balistique. Elle ne peut pas s’intégrer trivialement, mais c’est une des rares équations différentielles dont on peut fournir une solution analytique, ce que l’on va voir sous peu [20]. 2.5.2

L’´equation diff´erentielle comme recette de calcul

La discussion qui suit a pour but de familiariser l’étudiant avec la notion d’équation différentielle, en jouant un peu avec une calculatrice [21]. Nous avons obtenu ma = −kx Cette loi permet de calculer a pour chaque valeur de x, d’o` u si δt est très petit on peut déduire l’accroissement de la vitesse : δv = a δt, et par conséquent le déplacement δx = (v + δv) δt. Posons que, à t = 0, x = 1,0, v = 0. Prenons les valeurs m = 1,0, k = 2,5. A partir de x = 1,0 nous trouvons la valeur de a. De l` a, nous pouvons trouver la nouvelle valeur de x, d’o` u la nouvelle valeur de a, etc. Prenons un incrément de temps δt = 0,1. C’est un pas un peu grossier, mais il suffit pour voir la méthode fournir une évolution dans le temps avec des oscillations.

Pratique de la m´ ecanique

t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

a −2,5 −2,438 −2,313 −2,130 −1,895 −1,612 −1,289 −0,934 −0,556 −0,162

v 0 −0,25 −0,498 −0,729 −0,942 −1,132 −1,294 −1,423 −1,516 −1,572

x 1 0,975 0,925 0,852 0,758 0,645 0,516 0,374 0,222 0,065

Ce petit calcul suffit ` a noter que, lorsque la vitesse est maximale, l’accélération s’annule. C’est normal. La condition pour trouver l’extremum de v est dv elération ! Ce calcul peut être exécuté avec dt = 0. C’est une condition sur l’acc´ une calculatrice et un petit programme très simple. De nos jours, des machines parallèles sont développées pour intégrer numériquement les équations régissant par exemple la dynamique des fluides. Sur la figure 2.16, on voit le résultat d’une simulation de la chute d’une goutte d’eau (2) sur une surface d’eau libre .

h h

t = 0.050 s.

t = 0.060 s.

t = 0.030 s.

t = 0.040 s.

t = 0.070 s.

t = 0.090 s.

Fig. 2.16 Simulation num´erique de la chute d’une goutte d’eau a ` la surface d’une ´etendue d’eau [22].

(2)

Dr. Alexandre Caboussat a re¸cu le prix EPFL du doctorat 2003 pour sa th` ese [22]. Texte int´ egral disponible sur le serveur EPFL.

L’oscillateur harmonique

2.5.3

Solution analytique

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique peut s’écrire d2 x k =− x dt2 m Dans le cadre de cette sensibilisation aux équations différentielles, on se contentera de constater que la fonction x(t) suivante est une solution : x = cos(ωt) C’est bien le cas, car dx = −ω sin(ωt) dt d2 x = −ω 2 cos(ωt) dt2 et l’équation différentielle est satisfaite, pour autant qu’on prenne r k ω= m

(2.12)

On remarque que x = sin(ωt) est aussi une solution. Une solution générale est de la forme x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) (2.13) Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple x = x0 et v = vo ` a t = 0 . Il vient B = x0 A=

v(0) ω

La justification formelle de cette approche relève d’un traité d’analyse ou d’algèbre linéaire. On appelle pulsation la grandeur ω qui intervient dans (2.13). Le mouvement ainsi défini est périodique. En effet, si l’argument des fonctions sinus et cosinus augmentent de 2π, x garde la même valeur. Mathématiquement, cela peut s’écrire x(t + T ) = x(t) si ωT = 2π. T est la p´ eriode de l’oscillateur harmonique. Le point matériel revient à la même position avec une fr´ equence f = T1 . On a ainsi ω f= (2.14) 2π On a donc aussi ω=

2π T

Ces relations sont utilis´ees dans de tr`es nombreux domaines !

(2.15)

2.5.4 5.3

Pratique de la m´ ecanique

Oscillateur harmonique amorti

En pratique, on observe que les oscillateurs ont leur amplitude qui décroˆıt au cours du temps, ` a moins qu’ils ne soient soumis à une force extérieure qui entretient l’oscillation. Pour une description plus réaliste, autrement dit pour une meilleure modélisation, supposons que l’oscillateur est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. Il arrive souvent que l’approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et opposée a la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n’est pas la seule possible, et ce ` n’est pas toujours la meilleure (§ 1.14.2). Ainsi la force de frottement est posée de la forme : Ff = −bv avec b > 0. Pour notre système de coordonnées, Ff = −b dx dt . L’application de la deuxième loi de Newton fournit m

d2 x dx = −kx − b dt2 dt

Pour se conformer ` a une notation usuelle, nous posons k = ω02 m

b =γ 2m

L’´equation du mouvement devient d2 x dx + 2γ + ω02 x = 0 dt2 dt

(2.16)

On utilise ici la méthode systématique à employer pour une telle équation différentielle (équation différentielle dite « linéaire du deuxième ordre à coefficients constants »). Elle consiste ` a prendre comme fonction d’essai x = eλt . Il faut alors eλt λ2 + 2γλ + ω02 = 0 Comme eλt 6= 0 , il faut λ2 +2γλ+ω02 = 0, d’o` u les deux solutions possibles : q λ1 = −γ + γ 2 − ω02 q λ2 = −γ − γ 2 − ω02 La solution générale de (2.16) est une combinaison linéaire des deux solutions trouvées : √ 2 2 √ 2 2 x(t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t = e−γt A1 e γ −ω0 t + A2 e− γ −ω0 t Si nous observons des mouvements avec beaucoup d’oscillations avant qu’un amortissement important se manifeste, cela veut dire que l’amortissement est faible : γ 2 ω02 . Dans ce cas, les racines carrées sont purement imaginaires et on écrira q λ1 = −γ + i ω02 − γ 2 q λ2 = −γ − i ω02 − γ 2

L’oscillateur harmonique

La solution générale pour x(t) réelle peut donc s’écrire : √ 2 2 √ 2 2 x(t) = e−γt A ei ω0 −γ t + A∗ e−i ω0 −γ t

(2.17)

C’est la restriction ` a des x réels qui impose de prendre les constantes A et A∗ , le complexe conjugué de A. La solution générale peut aussi s’écrire : x(t) = e−γt C cos(ω1 t + Φ) avec ω1 =

(2.18)

ω02 − γ 2

(2.19)

Les constantes C et Φ sont définies par les conditions initiales. Quand γ = ω0 on dit qu’il y a amortissement critique. Dans ce cas, la solution est x(t) = e−ω0 t x0 + t x0 ω0 + x˙ 0 (2.20) Quand γ > ω0 , il y a amortissement surcritique. La figure 2.17 donne l’allure de la solution sous-critique γ < ω0 (exercice 6.26) et la figure 2.18 montre le sens de l’expression « critique » : c’est la valeur de l’amortissement qui amène a l’immobilité dans le temps le plus court. ` x/x0

2 1.5

0.8

0.6

0.5 -0.5

g=w

0.2

-1

-1.5 -2

Fig. 2.17 Oscillateur amorti.

g = 2w

0.4

harmonique

w0t

Fig. 2.18 Oscillateur harmonique a ` la valeur critique γ = ω et a ` la valeur surcritique γ = 2ω.

Mise en contexte

La motivation pour étudier l’oscillateur harmonique a été donnée en décrivant des expériences concrètes. Cette fa¸con de procéder a une signification historique. Galilée était parvenu à convaincre par le biais d’expériences faites devant son audience, brisant par cela la tradition scolastique qui insistait pour chercher ` a interpréter au mieux les textes anciens. Par exemple, Galilée montrait que le frottement de l’air modifiait un temps de chute ou qu’il pouvait exciter ` a distance un diapason avec un autre de même fréquence (sect. 3.5). L’idée de présenter de nos jours une expérience avant d’en faire l’analyse formelle remonte ` a cette époque, que beaucoup considèrent comme celle de la naissance de la science moderne.

100

Pratique de la m´ ecanique

2.6 6.2

Mouvement circulaire et mouvement harmonique

Il est bon d’être au clair sur les propriétés du mouvement circulaire uniforme. On y trouve de fa¸con limpide le fait qu’une vitesse scalaire peut être constante, mais l’accélération non nulle (sect. 1.6). On suppose qu’un point matériel se déplace sur un cercle à vitesse scalaire constante. Ce cercle est notre référentiel. Soient R le rayon du cercle, O son centre, A un point du cercle, P la position du point matériel, φ l’angle AOP . L’abscisse curviligne vaut s = Rφ. La vitesse scalaire vaut v=

ds d(Rφ) dφ = =R = Rφ˙ dt dt dt

Comme la vitesse scalaire est constante, il faut que φ˙ soit constant. Notons φ˙ = ω. Alors φ = ωt (si on pose φ = 0 à t = 0). Coordonnées cartésiennes

On définit un système d’axes cartésiens d’origine O, dont l’axe Ox contient A et l’axe Oz est normal au plan du cercle (fig. 2.19). Les composantes du vecteur position sont alors : x(t) = R cos(ωt) y(t) = R sin(ωt) z=0 Le système d’axes étant lié au référentiel, il peut tenir le rôle de référentiel. Alors la vitesse vectorielle est obtenue en dérivant par rapport au temps les composantes : x(t) ˙ = −Rω sin(ωt) y(t) ˙ = Rω cos(ωt) z˙ = 0 p La vitesse scalaire peut être déduite comme v = x˙ 2 + y˙ 2 = Rω. Bien que le cercle soit parcouru ` a vitesse scalaire uniforme, son accélération n’est pas nulle ! En effet : x ¨(t) = −Rω 2 cos(ωt) y¨(t) = −Rω 2 sin(ωt) Le module de l’accélération vaut a = Rω 2

(2.21)

Le fait que l’accélération soit non nulle vient du fait que la direction de la vitesse change (fig. 2.19). L’accélération vectorielle est toujours dirigée vers le centre. On l’appelle l’accélération centrip` ete.

101

Vitesse et acc´ el´ eration en coordonn´ ees g´ en´ eralis´ ees

v (t +dt) v (t )

a (t )dt

ωt O

Fig. 2.19 Accroissement infinitésimal a(t) dt = v(t + dt) − v(t). Le système d’axes cartésiens Oxyz sert de référentiel.

Mise en contexte

L’appareillage mathématique développé jusqu’ici permet de traiter de nombreux problèmes de mécanique comportant des contraintes géométriques. Toutefois, le très grand succès de la mécanique Newtonienne réside dans l’établissement de la loi universelle de la gravitation. Depuis son établissement, toutes les tentatives de mesurer une déviation de son expression mathématique en 1/r2 ont échoué (sect. 3.6).

2.7

Vitesse et accélération en coordonnées généralisées

L’usage des coordonnées cylindriques ou sphériques permet d’exprimer simplement les contraintes géométriques d’une situation physique donnée. Par exemple, on verra que les coordonnées cylindriques permettent d’écrire des équations du mouvement simples pour une masse ponctuelle pesante suspendue ` a un fil (sect. 2.9). On aura besoin des composantes de la vitesse et de l’accélération projetées dans les repères associés à ces systèmes de coordonnées. Ce sont des résultats qu’on doit considérer comme faisant partie d’un formulaire de mécanique. Proposition 2.1 Vitesse et accélération en coordonnées généralisées. En coordonnées cylindriques : ˙ φ + ze v = ρe ˙ ρ + ρφe ˙ z a = ρ¨ − ρφ˙ 2 eρ + ρφ¨ + 2ρ˙ φ˙ eφ + zëz

(2.22) (2.23)

En coordonn´ees sph´eriques : ˙ θ + rφ˙ sin θeφ v = re ˙ r + rθe ar = r¨ − rθ˙2 − rφ˙ 2 sin2 θ aθ = rθ¨ + 2r˙ θ˙ − rφ˙ 2 cos θ sin θ aφ = rφ¨ sin θ + 2rφ˙ θ˙ cos θ + 2r˙ φ˙ sin θ

(2.24)

7.2

7.3

102

Pratique de la m´ ecanique

´monstration. On peut partir des relations entre coordonnées cartésiennes De et cylindriques, dériver une fois pour la vitesse, deux fois pour l’accélération et finalement regrouper les termes en reconnaissant les composantes cartésiennes des vecteurs unités du repère associé. La même procédure appliquée aux coordonnées sphériques donne lie à de longs calculs. On verra dans la section ci-dessous une manière plus élégante d’arriver à ces résultats (via les formules de Poisson). Mise en contexte

On a introduit le modèle du point matériel, pour lequel on a énoncé les deux lois de Newton. Il semblerait qu’on ait tout ce qu’il faut pour faire de la mécanique, mais ce n’est pas tout à fait le cas. On verra qu’il nous faudra aller au-del` a de l’approximation qui consiste à traiter un objet comme s’il s’agissait d’un point matériel. On introduira alors le modèle du solide indéformable. Ce passage demanda beaucoup de réflexion de la part de plus grands (sect. 3.7).

2.8 8.2

Vecteur de vitesse angulaire

On note que le résultat (1.7) obtenu à la section 1.8 dr =ω∧r dt est vrai pour n’importe quel vecteur r lié au repère qui subit la même rotation. On a ainsi la même vitesse angulaire ω pour tous les vecteurs rigidement liés au repère pour lequel on a défini ω. En particulier, on a le même ω pour tout repère lié rigidement au repère qu’on s’est donné initialement. Par conséquent, pour un mouvement donné, le vecteur de vitesse angulaire est indépendant du choix du système d’axes. La direction du vecteur ω s’obtient immédiatement. Comme dans l’équation (1.7), r(t + dt) − r(t) = 0 si r est parallèle à ω, il faut conclure que ω est sur l’axe de rotation. Il faut encore déterminer la norme de ω. On l’obtient par la considération géométrique

suivante. D’une part, l’équation d’évolution pour un r lié au repère implique : r(t + dt) − r(t) = |r| |ω| dt| sin θ|. D’autre part, l’inspection de la figure 2.20 fournit

r(t + dt) − r(t)

= |dφ| |r| | sin θ| Ces deux relations g´eom´etriques impliquent pour le module du vecteur ω :

dφ

|ω| =

103

Vecteur de vitesse angulaire

dφ

Fig. 2.20 Image r 0 de r par une rotation infinit´esimale d’angle dφ.

Exemple 2.3 Mouvement circulaire Un point matériel décrivant un cercle à vitesse scalaire constante subit une rotation dont le vecteur de vitesse angulaire est constant, normal au plan du cercle. Les résultats généraux sur les rotations permettent d’écrire pour l’évolution temporelle : dr v= =ω∧r dt Cette équation implique pour le module de r : d dr (r · r) = 2 r· = 2 r· (ω ∧ r) = 0 dt dt On trouve que le module de r est constant, comme il se doit. De plus : a=

d d dr (v) = (ω ∧ r) = ω ∧ = ω ∧ (ω ∧ r) dt dt dt

(2.25)

On trouve, graphiquement par exemple, que l’accélération est centripète (fig. 2.21). Cette expression de l’accélération centripète reviendra souvent. w

w Ùr

w Ù (w Ù r)

Fig. 2.21 Mouvement circulaire, vitesse et acc´el´eration en termes du vecteur de vitesse angulaire ω.

104

Pratique de la m´ ecanique

Exemple 2.4 Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques Avec les formules de Poisson, on est en mesure d’obtenir les composantes de la vitesse et de l’accélération en coordonnées cylindriques de manière efficace. On considère un point dans le plan Ox1 x2 . Avec les notations conventionnelles pour les coordonnées cylindriques, on part de r = ρeρ Le vecteur de vitesse angulaire φ˙ est dans la direction de x3 (fig. 1.13) et ˙ Les formules de Poisson fournissent : son module est φ. ˙ φ e˙ ρ = φ˙ ∧ eρ = φe ˙ ρ e˙ φ = φ˙ ∧ eφ = −φe La vitesse et l’accélération s’obtiennent par dérivation par rapport au temps : ˙ φ r˙ = ρe ˙ ρ + ρe˙ ρ = ρe ˙ ρ + ρφe ¨ φ + ρ˙ φe ˙ φ − ρφ˙ 2 eρ r¨ = ρëρ + φ˙ ρe ˙ φ + ρφe ˙ φ r¨ = ρ¨ − ρφ˙ 2 eρ + (ρφ¨ + 2ρ˙ φ)e

Exemple 2.5 Vitesse et accélération en coordonnées sphériques Le même calcul peut être conduit dans le cas des coordonnées sphériques. Il faudra considérer les vecteurs de vitesse angulaire définis par les deux angles θ et φ (fig. 2.22). La composition des rotations se traduit simplement par l’addition des vecteurs des vitesses angulaires associées.

Fig. 2.22 Vecteurs de vitesse angulaire pour les rotations définies par les angles des coordonnées sphériques.

105

Pendule math´ ematique plan

Mise en contexte

Dans la section qui suit, on va traiter le problème du pendule. On raconte que Galilée avait médité sur les oscillations d’un pendule et avait conclu que la force de la pesanteur devait être proportionnelle à la masse. Cette masse est-elle la même que celle que nous avons rencontrée dans la définition de la quantité de mouvement ? (Nous verrons cette question à la section 3.8.)

2.9

Pendule math´ematique plan

On considère un pendule modélisé comme un point matériel astreint à se déplacer sur un cercle dans un plan vertical et soumis à la pesanteur (fig. 2.23). On appelle ce modèle le pendule math´ ematique plan. La description géométrique de la liaison nous dispense d’écrire s’il y a une barre sans masse reliant le point matériel et le point d’attache ou si le point matériel se déplace sur un cercle. On n’a également pas besoin de préciser que l’articulation en O est sans frottement. 0

y φ eφ T

eρ

Fig. 2.23 Système d’axe et coordonnées cylindrique pour le pendule mathématique.

Référentiel, repère, coordonnées Le référentiel est matérialisé par les axes Oxy, O est le point d’attache du pendule, l’axe Ox est choisi vertical dirigé vers le bas. On utilise les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) et le repère associé : eρ , eφ , ez . Bilan des forces Le point matériel est soumis aux forces suivantes : •

•

On décrit ici la pesanteur par une force F verticale constante. Les équations du mouvement permettront de conclure que si la période est indépendante de la masse, alors la force doit être proportionnelle à la masse. La liaison implique l’existence d’une force T qui doit être parallèle à OP (pas de frottement).

9.2

106

Pratique de la m´ ecanique

Liaisons Comme ρ = `, la longueur du fil ou de la barre sans masse, ou le rayon du cercle, on a =⇒ ρ˙ = ρ¨ = 0 Comme le mouvement est astreint à un plan, on pose aussi z = 0. Cinématique On utilise la formule de l’accélération en coordonnées cylindriques a = ρ¨ − ρφ˙ 2 eρ + 2ρ˙ φ˙ + ρφ¨ eφ + zëz Les liaisons impliquent a = −`φ˙ 2 eρ + `φ¨ eφ

Equations du mouvement Nous invoquons la loi de Newton F = ma. Nous projetons toutes les grandeurs vectorielles dans le rep`ere choisi. Ainsi, il vient − m`φ˙ 2 = F cos φ − T m`φ¨ = −F sin φ

(2.26) (2.27)

Remarque. Il n’est pas toujours évident de déterminer le sens d’une force de contrainte. Il suffit de choisir un sens sur la figure, de faire les projections avec le signe correspondant. A la fin de la résolution, si T < 0, cela veut dire que T pointe dans la direction opposée à celle du dessin. Si la période d’oscillation d’un pendule est indépendante de la masse, alors il faut conclure que, dans (2.27), F doit être de la forme mg o` u g est une constante, pour que l’équation du mouvement deviennent indépendante de m. L’équation du mouvement devient alors g φ¨ = − sin φ `

(2.28)

Quand cette équation différentielle sera résolue, on aura φ(t) et (2.26) fournira la force de liaison T . 2.9.1

Une méthode d’intégration souvent utilisée

Il arrive souvent qu’une équation du mouvement ait la forme x ¨ = F (x). La démarche suivante, démontrée ici pour le cas particulier (2.28), permet d’intégrer. En multipliant par φ˙ l’équation du mouvement g φ¨ φ˙ = − sin φ φ˙ `

107

Pendule math´ ematique plan

Il est possible de repérer des dérivées par rapport au temps : d 1 ˙2 d g φ = cos φ dt 2 dt ` Il ne faut pas oublier d’ajouter une constante en intégrant 1 ˙2 g φ − cos φ = constante 2 ` Cette constante est déterminée par les conditions initiales. Considérons qu’à t = 0, le point matériel soit lˆ aché avec une vitesse nulle d’un angle φ0 . Ainsi la constante est la valeur de 12 φ˙ 2 − g` cos φ à t = 0, soit − g` cos φ0 . Alors 1 ˙2 g g φ − cos φ = − cos φ0 2 ` ` On en tire

s dt =

` dφ √ 2g cos φ − cos φ0

Une telle équation peut être intégrée. Elle fournit le temps en fonction de la position, au lieu de l’inverse, la position en fonction du temps : s ! Zφ dφ0 ` √ t= (2.29) 0 2g cos φ − cos φ0 φ0

Cette solution est de la forme t = F (φ) qu’on peut, du moins formellement, inverser pour trouver φ(t) = F −1 (t). L’intégrale ci-dessus est dite elliptique. Discussion qualitative Il arrive très souvent que l’intégration d’une équation du mouvement soit difficile. Il est alors bon dans la pratique de conduire une étude qualitative des solutions possibles. Dans le cas présent, on a 1 ˙2 g φ = (cos φ − cos φ0 ) 2 ` Il faut donc que (cos φ − cos φ0 ) ≥ 0 De plus φ˙ = 0 si et seulement si φ = ±φ0 . cos f

-f0

Fig. 2.24 Domaine possible de l’angle φ.

108

Pratique de la m´ ecanique

On voit en inspectant le croquis (fig. 2.24) que cela implique un angle limité, exactement comme on le sait d’expérience. On consacrera une section entière aux discussions qualitatives (sect. 5.5). Période des oscillations Si φ0 1, alors on aura φ(t) 1 et on peut faire l’approximation sin φ ∼ = φ. L’équation du mouvement devient : φ¨ = − g` φ. C’est l’équation d’un oscillateur p harmonique de période 2π `/g.

9.3

Fig. 2.25 Un pendule est formé d’une tige rigide de masse négligeable en comparaison de la masse au bout de la tige. Si le mouvement commence a ` un angle voisin du point le plus haut du pendule, il apparaˆıt clairement que la période devient grande comparée a ` celle des petites oscillations.

L’expérience montre que la période d’un pendule dépend de l’angle. Quand le pendule est construit de telle manière qu’on puisse le lâcher d’un grand angle (fig. 2.25), la dépendance est manifeste. Le graphe 2.26 indique le rapport de la période ` a une amplitude donnée en abscisse et de celle à une amplitude infiniment petite. Une intégration numérique (exercice 6.30) permet de produire le graphe de la période en fonction de l’amplitude.

période T (f0)/T (0)

2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0

0.5

1.05 f0

2.5

Fig. 2.26 Période du pendule en fonction de l’amplitude, normalisée a ` la période du pendule dans la limite des oscillations infiniment petites.

Le ph´ enom` ene de r´ esonance

109

Mise en contexte

Avec l’analyse de la balistique, de l’oscillateur harmonique ou du pendule, on acquiert l’impression que la mécanique est une machinerie superbement précise. Après quelques siècles d’enthousiasme pour un déterminisme primaire, il a fallu se rendre ` a l’évidence : un système mécanique, même très simple, peu avoir un comportement « chaotique »(sect. 3.9).

2.10

Le phénomène de résonance

Examinons le mouvement oscillant d’un poids accroché à un ressort, dont 10.2 l’autre extrémité oscille de haut en bas sous l’action d’un piston qui peut être mu ` a une fréquence variable (fig. 2.27). On observe au début de l’expérience des battements entre l’oscillation propre et l’excitation. Il faut attendre un temps de l’ordre du temps d’amortissement de l’oscillation libre pour obtenir un mouvement harmonique. On observe alors un maximum d’amplitude quand la fréquence est ajustée ` a la fréquence de l’oscillation libre. Si on reprend l’expérience quand le poids est dans l’eau, on observe que les battements disparaissent tout de suite. Le maximum d’amplitude apparaˆıt à une fréquence légèrement décalée par rapport ` a la fréquence de l’oscillation libre dans l’air et ce maximum est clairement plus petit que celui observé dans l’air.

10.3

Fig. 2.27 L’oscillateur harmonique formé d’un double ressort et d’un plot, immergé ou pas, est excité en for¸cant l’extrémité supérieure du ressort a ` un mouvement vertical harmonique d’amplitude et de fréquence contrˆ olées. L’amplitude du mouvement du plot est bien plus grande dans l’air que dans l’eau. La fréquence au maximum d’oscillation n’est pas tout a ` fait la même dans l’air et dans l’eau.

Lorsque l’oscillateur harmonique est soumis à une force extérieure, on parle d’oscillateur harmonique forcé. Exprimé sous forme mathématique, cela veut dire qu’on s’intéresse aux solutions de l’équation différentielle m

d2 x dx = −k x − b + F (t) 2 dt dt

(2.30)

110

Pratique de la m´ ecanique

o` u F (t) est une force extérieure. On considère ici le cas o` u l’excitation est harmonique : F (t) = f cos(ωt). L’expérience montre que l’amplitude de l’oscillation devient très grande quand ω est proche de ω0 . Une telle expérience est illustrée sur la figure 2.28, o` u une série de pendules sont montés sur un tube en caoutchouc. Un pendule joue le rôle d’excitation et seul celui qui a la même longueur, donc la même période, se met à osciller fortement.

10.3

Fig. 2.28 Plusieurs masses sont suspendues sur un tube en caoutchouc. Seul un pendule a la même longueur que celui situé a ` l’extrémité du tube. Quand ce dernier est excité, seul le pendule qui a la même longueur que celui-ci se met a ` osciller de manière importante.

Les phénomènes de résonance peuvent s’observer dans toutes sortes de circonstances. Au lieu de pendules, on peut avoir une série de diapasons (fig. 2.29). On produit un son et seul le diapason dont la fréquence naturelle est celle du son se met ` a vibrer.

10.3

Fig. 2.29 Deux diapasons de même fréquence sont montés sur des caissons creux identiques. Un des diapasons est frappé, puis amorti au touché de la main. On remarque alors que l’autre s’est mis ` a vibrer. Il faut que les deux diapasons soient de la même fréquence pour que cet effet ait lieu.

Le pont de Tacoma (fig. 2.30) s’est effondré quand un fort vent a engendré une résonance dont l’amplitude est devenue si grande que le pont ne pouvait plus résister. Il s’agit d’une self-résonance générée par un vent qui n’est pas modulé ` a la fréquence de résonance du pont.

Le ph´ enom` ene de r´ esonance

111

11.3

Fig. 2.30 Le pont de Tacoma peu avant sa rupture.

Pour rendre compte de ces phénomènes, on considère les solutions de l’équation du mouvement : x ¨+

1 x˙ + ω02 x = α0 cos(ωt) τ

f avec α0 = m . On choisit de s’intéresser seulement au cas stationnaire, c’est-àdire qu’on suppose que la force a été appliquée pendant un temps long comparé a τ . Alors le système oscille ` ` a la fréquence ω de l’excitation. On appelle ce régime stationnaire la r´ eponse harmonique du système.

Il est commode d’obtenir la solution en cherchant d’abord celle d’un problème équivalent pour une variable complexe. Le problème complexe se déduit du premier en considérant le même système subissant une force déphasée de π2 . Exprimons l’équation du mouvement pour une variable y sous l’effet de cette force déphasée. Il vient alors le système d’équations : 1 x˙ + ω02 x = α0 cos ωt τ 1 y¨ + y˙ + ω02 y = α0 sin ωt τ x ¨+

En multipliant la deuxième équation par i et en sommant les deux équations, posant z = x + iy, on obtient z¨ +

1 z˙ + ω02 z = α0 eiωt τ

(2.31)

Chercher la solution stationnaire, c’est chercher la solution de la forme z = z0 eiωt . Pour trouver la solution du probl`eme initial pour x, il suffit de prendre x = Re(z). En substituant pour z dans (2.31), il vient une ´equation qui nous donne l’amplitude : α0 z0 = 2 −ω + (iω/τ ) + ω02

112

Pratique de la m´ ecanique

Ecrivons z0 sous la forme z0 = ρ eiφ . Nous aurons alors x(t) = ρ cos(ωt + φ) o` u l’amplitude ρ est le module de z0 donn´ee par α0 ρ = r 2 (ω/τ )2 + ω02 − ω 2 La phase φ est donn´ee par Im(z0 ) −ω/τ = 2 Re(z0 ) ω0 − ω 2

tg(φ) = ou sin φ = r

−ω/τ (ω/τ )2 + ω02 − ω 2

L’amplitude ` a la fréquence ω = ω0 , est donnée par ρ(ω = ω0 ) = α0 τ /ω0 . Le déphasage vaut alors − π2 . L’amplitude à la fréquence nulle (force constante) est ρ(ω = 0) = α0 /ω02 . Le rapport des amplitudes vaut ρ(ω = ω0 ) = ω0 τ ρ(ω = 0)

(2.32)

Cette équation montre que si on excite un système faiblement amorti (τ 1/ω0 ) ` a la résonance, on obtient une amplitude bien plus grande que si on le sollicite de fa¸con statique. Plus l’amortissement est faible, plus τ est grand et plus grande est l’amplitude de l’oscillation obtenue (fig. 2.31). C’est ce qu’on observe avec le pendule (fig. 2.27) dont l’amplitude dans l’air est tellement plus grande que dans l’eau. 12 10 w0t = 10

8 6

w0t = 4

4 2 0

wt = 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8 w/w0

1.2

1.4

1.6

Fig. 2.31 Amplitude de l’oscillateur harmonique amorti en fonction de la fréquence d’excitation. L’amplitude est normalisée a ` l’amplitude a ` fréquence nulle. La fréquence est normalisée a ` la fréquence ω0 de l’oscillateur sans amortissement.

Ce résultat généralise une expérience de la vie courante : on peut gagner en hauteur en sautant d’un plongeoir au bon rythme. On n’arrive à une hauteur maximale qu’après un nombre de sauts voisin du nombre d’oscillations de la planche libre pendant lesquelles l’amplitude diminue fortement.

113

Le ph´ enom` ene de r´ esonance

Puissance

La puissance apportée au système résonnant par la force extérieure F vaut P = F · v. Il y a un transfert périodique d’énergie entre la source de la force F et l’oscillateur harmonique. Ce qui importe cependant, c’est la moyenne sur un cycle. Elle est non nulle parce que le système dissipe une partie de l’énergie re¸cue par les frottements.

On cherche donc ` a expliciter hP i = hF · vi = f cos(ωt) Re z˙ , o` u hP i signifie la moyenne de P (t) sur une p´eriode, soit : 1 hP i = T

ZT P (t) dt

(2.33)

La vitesse s’obtient comme la partie r´eelle de z˙ = iωρ eiφ eiωt = iωρ cos(ωt + φ) + i sin(ωt + φ) Alors

hP i = f cos(ωt) sin(ωt + φ)(−ωρ)

= (−ωρf ) cos(ωt) sin(ωt) cos(φ) + cos(ωt) sin(φ)

−1 = (−ωρ)f cos2 (ωt) sin(φ) = f ωρ sin(φ) 2 Finalement (fig. 2.32) : hP i =

1 mα02 τ 2

1 ω02

− ω2 (ω/τ )2

(2.34)

! +1

P /Pmax

0.5

2 Δω

ω0

Fig. 2.32 Puissance dissip´ee en fonction de la fr´equence d’excitation.

hP i est maximal quand ω = ω0 et vaut Pmax = 12 mα02 τ . hP i vaut la moiti´e de ce maximum quand 2 ω02 − ω 2 =1 (ω/τ )2

114

Pratique de la m´ ecanique

c’est-` a-dire quand |ω0 − ω|(ω0 + ω) = (ω/τ ). Dans l’approximation des amortissements faibles, on a ∆ω2ω0 ∼ = (ω0 /τ ). Il vient ainsi 2∆ω =

1 τ

(2.35)

o` u 2∆ω est la largeur ` a mi-hauteur de la raie représentant l’absorption P en fonction de la fréquence appliquée. Compte tenu de (2.39) et (2.38), il vient Q=

ω0 2∆ω

(2.36)

Mise en contexte

Il y a une résonance qui appartient au domaine courant : celle d’une corde vibrante. Toutefois, comme on le montre à la section 3.10, ce système mécanique donne lieu ` a une équation du mouvement considérablement plus complexe, car elle fait intervenir des dérivées partielles.

2.11 11.2

Aspects ´energ´etiques de l’oscillateur harmonique

La discussion suivante complète la description de la phénoménologie de l’oscillateur harmonique. On considère ` a nouveau la solution (2.18) de l’oscillateur harmonique, mais sans amortissement : x = C cos(ω0 t + Φ) x˙ = −Cω0 sin(ω0 t + Φ) L’énergie cinétique vaut T =

1 1 mx˙ 2 = mC 2 ω02 sin2 (ω0 t + Φ) 2 2

L’énergie potentielle est le travail effectué pour amener la masse de la position x ` a la position 0, la position de repos du ressort. L’énergie potentielle d’un ressort de constante k, d’élongation x, vaut donc V (x) =

1 2 kx 2

L’énergie totale E = T + V vaut ainsi E = 12 mC 2 ω02 . On note que l’énergie E est indépendante du temps. En revanche, s’il y a amortissement, la grandeur E = 12 mx˙ 2 + 12 kx2 dépend du temps. En effet avec x = e−γt C cos(ω1 t + Φ) on a x˙ = C e−γt −γ cos(ω1 + Φ) − ω1 sin(ω1 t + Φ) Le premier terme est négligeable pour un système faiblement amorti : γ ω0 . Alors 1 1 1 1 mx˙ 2 + kx2 ∼ mC 2 ω12 sin2 (ω1 t + Φ) + kC 2 cos2 (ω1 t + Φ) e−2γt = 2 2 2 2

Aspects ´ energ´ etiques de l’oscillateur harmonique

Au mˆeme ordre d’approximation : vient

E(t) =

115

ω02 − γ 2 ≈ ω0 . Compte tenu de (2.12), il

1 kC 2 e−t/τ 2

(2.37)

avec τ=

1 2γ

(2.38)

Dans la technique, il est fréquent de caractériser un oscillateur faiblement amorti par un coefficient sans dimension appelé facteur de qualit´ e , noté Q. Le facteur de qualité est définit comme le rapport : Q = 2π

(énergie emmagasinée dans l’oscillateur ) énergie dissipée dans un cycle

Cette d´efinition implique Q = ω1 τ

(2.39)

En effet, d’une part la période vaut 2π/ω1 . D’autre part, la perte sur une période se calcule en multipliant la dérivée dE eriode, compte tenu de dt par la p´ (2.37) :

2π

2π 1 = E ω1 dt ω1 τ La substitution dans la définition de Q de ce résultat fournit directement (2.39). On peut donc voir Q comme le nombre d’oscillations de l’oscillateur dans le temps qu’il faut pour que son amplitude décroisse d’un facteur e multiplié par 2π. Une autre intuition du sens du facteur de qualité vient de l’évolution de l’énergie. L’énergie E = T + V de l’oscillateur harmonique décroˆıt comme e−2γt = e−t/τ = e−tω1 /Q Plus Q est grand, plus l’énergie se dissipe lentement. Le facteur de qualité est utilisé pour décrire plusieurs aspects des systèmes résonnants. Le terme «qualité» vient sans doute du résultat suivant. On verra ci-dessous avec le résultat (2.32) que l’amplitude à la résonance est celle de la déviation statique multipliée par le coefficient ω1 τ , c’est-à-dire le facteur Q. Le facteur de qualité est souvent de 100, il peut être de 10 000, par exemple pour un quartz. Mise en contexte

On est habitué au stockage de l’énergie sous la forme de batteries électrochimiques, ou de barrages. Quelques exemples à la section 3.11 permettent de réaliser qu’une grande quantité d’énergie peut aussi être emmagasinée sous la forme de la rotation d’un solide.

116

Pratique de la m´ ecanique

2.12 12.2

2.12.1

Analyse de collisions

Collision ´elastique

Quand, dans l’analyse d’une collision, on ajoute à la conservation de la quantité de mouvement celle de l’énergie cinétique (collision élastique), alors l’ensemble des états finals possibles est considérablement restreint. Examinons la collision élastique de deux points matériels de masses m1 et m2 (fig. 2.33). Initial

Final

12.3

p1i

p2i = 0

p1f

θ1

θ2 m2 p2f

Fig. 2.33 Etat initial et ´etat final, d´efinition des angles.

Prenons pour référentiel celui o` u m2 est à l’arrêt avant le choc. L’analyse porte sur l’état du mouvement des deux particules bien avant (état initial) et bien après la collision (état final), quand elles sont libres de force. La conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique s’écrit : p1i + p2i = p1f + p2f T1i + T2i = T1f + T2f Les indices i et f se réfèrent aux états initial et final. En projetant sur les axes x et y du référentiel, on obtient le système d’équations : p1i = p1f cos θ1 + p2f cos θ2

(2.40)

0 = p1f sin θ1 − p2f sin θ2

(2.41)

p21i 2m1

p21f 2m1

p22f 2m2

Elevons au carr´e les ´equations (2.40) et (2.41) : (p1i − p1f cos θ1 )2 = p22f cos2 θ2 p21f sin2 θ1 = p22f 1 − cos2 θ2 Eliminons θ2 :

(p1i − p1f cos θ1 )2 = p22f − p21f sin2 θ1

Eliminons p2f avec (2.42) : m2 m2 p21f 1 + − 2p1i p1f cos θ1 + p21i 1 − =0 m1 m1

(2.42)

Analyse de collisions

C’est une équation du deuxième degré en p1f dont les solutions sont ( 1/2 ) p1f v1f m1 m22 2 = = cos θ1 ± cos θ1 − 1 − 2 p1i v1i m1 + m2 m1

117

(2.43)

Si v1i est donné (avec v2i = 0), on trouve ainsi une relation entre le module v1f de la vitesse finale de la particule 1, l’angle final de déviation θ1 et la vitesse initiale v1i . Pour déterminer θ1 et v1f , il faut encore l’information sur le détail de la force d’interaction. On en verra un exemple avec la force de la gravitation. On peut obtenir une propriété particulière quand les masses sont égales. La conservation de la quantité de mouvement fournit alors v 1i = v 1f + v 2f et la conservation de l’énergie cinétique devient v 21i = v 21f + v 22f . En faisant le produit scalaire de la première équation avec elle-même, compte tenu de la deuxième, il vient : 0 = v 1f · v 2f = v1f v2f cos(θ1 + θ2 ). Alors, soit une des deux vitesses est nulle, c’est le cas colinéaire étudié ci-dessous, soit le cosinus est nul, donc θ1 + θ2 = π2 . On observe cette solution dans le cas de choc entre boules de billard, pour autant que la vitesse de la boule incidente ne soit pas dirigée vers le centre de la boule immobile. Si l’on impose en plus que les points matériels sont astreints à se déplacer sur une ligne droite, c’est-` a-dire θ1 = 0 alors il vient de (2.43) : s ( ) v1f m1 m21 − m22 m1 − m2 = 1± 1− = 1 ou v1i m1 + m2 m21 m1 + m2 Si v1f = v1i alors v2f = 0. Cela revient à dire qu’il n’y a pas de collision. Ce sont les manipulations algébriques qui ont introduit cette solution triviale. Retravaillons l’équation de l’énergie cinétique (2.42) pour trouver v2f en fonction de v1i dans ce cas : 1 1 1 2 2 2 m1 v1i = m1 v1f + m2 v2f 2 2 2! 2 v1f m1 2 m1 2 (m1 − m2 )2 2 v2f = v 1− 2 = v 1− m2 1i v1i m2 1i (m1 + m2 )2 D’o` u on tire v2f =

2m1 v1i (m1 + m2 )

Si m1 = m2 , alors v1f = 0 et v2f = v1i . C’est le résultat observé lors des expériences avec le banc ` a air et des chocs élastiques. Si m1 m2 , c’est-à-dire si m2 est pratiquement comme un mur, alors v2f = 0 (le mur ne bouge pas) et v1f = −v1i . Cela veut dire que m1 rebondit avec la même vitesse scalaire |v|. Remarque. Lorsqu’on joue du billard, on peut observer des phénomènes qui nécessitent une description qui sort du cadre de la mécanique du point matériel. Un professionnel peut imposer des trajectoires incurvées obtenues par la rotation des boules de billard. Il s’agit donc d’expériences o` u les billes ne peuvent pas être modélisées par des points matériels.

118

2.12.2

Pratique de la m´ ecanique

Collisions in´elastiques

On ne peut plus appliquer l’équation de conservation de l’énergie cinétique s’il s’agit d’un choc inélastique, par définition. En revanche, on peut vouloir caractériser la collision par l’énergie dégagée par la collision. On écrit T1i + Q = T1f + T2f pour avoir Q = Tfinal −Tinitial . Q est ainsi défini comme une production d’énergie cinétique. Q est positif si de l’énergie est libérée par la collision. Exemple 2.6 Considérons le cas o` u les deux masses sont accolées après la collision. Notons p1 la quantité de mouvement initiale d’un des points matériels. On considère encore une fois que l’autre est immobile initialement. Après le choc, la masse du système des deux masses est m1 + m2 . La conservation de la quantité de mouvement implique que la vitesse de l’assemblage vaut p1 /(m1 + m2 ). L’énergie cinétique n’est pas conservée dans un tel choc. En effet, on a l’énergie cinétique initiale : Ti =

1 m1 v12 2

L’énergie cinétique finale peut être calculée explicitement, grâce à la conservation de la quantité de mouvement (qui suffit pour une collision unidimensionnelle) : Tf =

1 (m1 + m2 ) 2

m1 v1 m1 + m2

On trouve donc Q = Tf − Ti = −

2 =

m21 1 v2 2 m1 + m2 1

1 m1 m2 2 v 2 m1 + m2 1

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement implique pour ce cas-ci que Q est négatif. Il y a donc une perte d’énergie cinétique. L’énergie est emmagasinée dans les déformations plastiques de la pâte à modeler (fig. 1.21) ou dans tout autre mécanisme assurant l’accolement des deux plots.

Exemple 2.7 Modèles pour les collisions de sphères Un modèle couramment utilisé consiste à dire que dans une collision inélastique, les vitesses normales à la surface de collision obéissent à la loi empirique : v2f − v1f = e(v1i − v2i ) o` u le coefficient e est appelé coefficient de restitution. Un article de 1958, donc relativement récent sur l’échelle de temps du développement de

Loi de la gravitation de Newton

119

la mécanique rationnelle, présente des mesures de collision entre des sphères métalliques [23], [24].

Mise en contexte

Dans ce qui suit, on montre comment les observations de Kepler présentées dans leur contexte historique à la section 3.12 permettent d’aboutir à la loi de la gravitation universelle de Newton.

2.13

Loi de la gravitation de Newton

Kepler avait analysé les données astronomiques de son maˆıtre qui avait soi- 13.2 gneusement mesuré l’orbite de planètes orbitant autour du Soleil. Kepler en avait ainsi déduit en particulier ce qu’il avait appelé « la loi des aires », qui revient ` a exprimer la conservation du moment cinétique (sect. 3.12). Pour exploiter ce résultat, on exprime le moment cinétique en coordonnées cylindriques (r, θ, z) définies dans le plan de l’orbite d’une planète, en prenant l’origine O sur le Soleil : ˙ θ = mr2 θe ˙ z = Lez LO = mrer ∧ re ˙ r + rθe (2.44) avec

L = mr2 θ˙

(2.45)

et ez le vecteur unitaire normal au plan de l’orbite. On exprime aussi les équations du mouvement en coordonnées cylindriques. On montre ici qu’une force d’attraction centrale de magnitude −K/r2 (K > 0) implique que les orbites sont elliptiques (deuxième loi de Kepler). Comme cette force est centrale, le moment cinétique LO est forcément conservé. Par conséquent, le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire à LO . Les équations du mouvement en coordonnées cylindriques (avec z = 0) sont −K m r¨ − rθ˙2 = 2 r ¨ ˙ m rθ + 2r˙ θ = 0

(2.46) (2.47)

L’équation du mouvement (2.47) est équivalente à la conservation du moment cinétique L. Il suffit de dériver L = mr2 θ˙ par rapport au temps pour le constater. L’équation du mouvement (2.46) peut s’intégrer une fois en multipliant par r˙ et en rempla¸cant θ˙ par son expression en termes de L et r. Il apparaˆıt alors des termes qui s’identifient tout de suite comme des dérivées par rapport au temps : L2 r˙ −K r˙ m r¨ ˙ r − rr˙ θ˙2 = m r¨ ˙r − 2 3 = m r r2 d 1 2 L2 K mr˙ + − =0 dt 2 2mr2 r

120

Pratique de la m´ ecanique

Il vient ainsi une constante du mouvement, l’´energie m´ecanique (1.11) : E=

K 1 1 1 L2 K m r˙ 2 + r2 θ˙2 − = mr˙ 2 + − 2 2 r 2 2 mr r

(2.48)

Des équations du mouvement, il est possible de tirer une équation différentielle pour la trajectoire. L’équation du mouvement (2.46), compte tenu de la conservation du moment cinétique, s’écrit : m¨ r−

L2 −K = 2 mr3 r

On op`ere un changement de variable : q = 1r . Par diff´erentiation, les expressions suivantes sont obtenues : −1 dq ˙ dq L dq θ = −r2 θ˙ =− q 2 dθ dθ m dθ L d2 q ˙ L d2 q L L2 2 d2 q r¨ = − θ = − = − q m dθ2 m dθ2 mr2 m2 dθ2 r˙ =

En substituant dans l’équation du mouvement, il vient d2 q Km +q = 2 2 dθ L Cette équation différentielle est de la forme de celle de l’oscillateur harmonique. Elle a donc une solution générale de la forme q=

1 Km = 2 + C cos(θ + θ0 ) r L

(2.49)

On peut poser C > 0 sans perte de généralité. C’est l’équation d’une conique (ellipse, parabole ou hyperbole) dont O est le foyer. Les deux valeurs extrémales de r sont nécessairement données par 1 Km = 2 +C r1 L

1 Km = 2 −C r2 L

Si C > Km/L2 , il n’y a qu’un seul extremum, car r ne peut pas être négatif. L’orbite est une hyperbole. Si C < Km/L2 , il s’agit d’une ellipse et si C = Km/L2 , il s’agit d’une parabole. Une discussion qualitative permet d’identifier efficacement ces différents régimes (problème 5.22), sans avoir recours à une intégration comme ici. La dérivation ci-dessus aurait pu être conduite dans l’ordre inverse. On aurait dit que l’orbite est une ellipse (2.49) avec l’équation horaire donnée par (2.45). On aurait alors trouvé pour cette équation horaire une équation du mouvement avec un terme en K/r2 . Kepler avait également remarqué que le rapport du carré de la période de l’orbite et du cube de son demi axe avait la même valeur pour toutes les

121

Loi de la gravitation de Newton

planètes. On va voir que cette observation nous dit quelque chose de crucial à propos de la constante K ! Pour invoquer la période, il suffit de considérer : dt 1 mr2 = = dθ L θ˙ De l` a, il vient dt = (mr2 /L) dθ et la période : ZT

Z2π dt = T =

mr2 dθ L

Vu le lien entre la vitesse aréolaire et le moment cinétique, TmL égale deux fois l’aire A de l’ellipse. Cela se confirme en exprimant l’intégrale sur θ comme une intégrale double : TL = m

Z2π

r dθ = 0

r(θ) Z dθ 2r0 dr0 = 2A

Ainsi, pour trouver la p´eriode, il suffit de calculer l’aire de l’ellipse : 1 A= 2

Z2π 0

dθ (KM /L2

+ C cos θ)

Cette intégrale peut être obtenue dans une table ou avec un programme comme Mathematica. Il vient 2π Km/CL2 TL 1 = 2 3/2 2 m C KM /CL2 − 1 Notons 2a le grand axe de l’ellipse : Km 2 2 1 1 1 CL 2a = + = 2 Km Km C KM −C +C −1 L2 L2 CL2 Par conséquent, le rapport invoqué par la troisième loi de Kepler vaut T2 4π 2 m = 3 a K Il faut que ce rapport soit indépendant de m, puisqu’il doit être le même pour toutes les planètes. Par conséquent, la constante K doit être proportionnelle à m ! Comme l’action est mutuelle entre le Soleil et la planète, si la constante K est proportionnelle ` a la masse d’un des astres de l’interaction, elle doit aussi être proportionnelle ` a la masse de l’autre astre.

122

Pratique de la m´ ecanique

Ainsi, en 1677, Newton déduit des données astronomiques et des lois de Kepler en particulier la loi de la gravitation. « Dans cette philosophie (la philosophie expérimentale), les propositions sont tirées des phénomènes et généralisées par induction », dit Newton [25]. La force d’attraction mutuelle entre deux masses ponctuelles M et m (fig. 2.34) est donnée par F =−

GM m r r2 r

(2.50)

r est le rayon vecteur joignant les deux masses et G une constante universelle, G = 6,67300 × 10−11 m3 kg−1 s−2 . m r

Fig. 2.34 Force gravitationnelle que la masse M exerce sur la masse m.

Mise en contexte

Ici, on n’a considéré que deux masses, dont l’une était à l’origine du système de coordonnées. Quel est le rapport entre cette loi de la gravitation et la pesanteur ? On peut comprendre et calculer le champ de la pesanteur en évaluant la résultante des forces d’attraction entre un objet à la surface de la Terre et toutes les masses ponctuelles qui constituent la Terre (sect. 3.13).

2.14

Charges dans un champ magn´etique, frottement sur plan inclin´e

14.2

2.14.1

Charge ponctuelle dans un champ magn´etique

A titre d’exemple, on traite ici le cas d’un point matériel, chargé électriquement, en présence d’un champ B uniforme constant. Soit une particule de masse m, de charge q, dans un champ d’induction B constant et uniforme (fig. 2.35). On prend l’axe z le long du champ, avec B = Bez . La deuxième loi de Newton fournit mv˙ = qv ∧ B. Pour simplifier les écritures, on pose ω = qB equation du mouvement devient m . L’´ v˙ = −ω ∧ v

(2.51)

On reconnaˆıt ici la forme de l’équation du mouvement pour un point matériel décrivant un mouvement circulaire uniforme, r˙ = ω ∧ r. L’équation du mouve-

123

Charges dans un champ magn´ etique, frottement sur plan inclin´ e

z B

Fig. 2.35 Choix des axes : z parall`ele au champ d’induction uniforme B.

ment (2.51) implique que la vitesse |v| est constante (car dv 2 /dt = 2v · v˙ = 0) et que v est en rotation ` a la vitesse angulaire constante : ω=

qB m

(2.52)

Pour analyser la trajectoire, on pose les conditions initiales : t = 0 x = x0

z = z0

y = y0

vx = 0 vy = v1

vz = vz0

Projetons l’équation vectorielle du mouvement (2.51) sur le système d’axes cartésiens : v˙ x = ωvy

(2.53)

v˙ y = −ωvx

(2.54)

v˙ z = 0

(2.55)

L’équation (2.55) s’intègre immédiatement : z(t) = z0 + vz0 t. Dans le plan (x, y), nous avons par dérivation par rapport au temps de (2.53) et (2.54) : v¨x = ω v˙ y = −ω 2 vx vÿ = −ω v˙ x = −ω 2 vy On reconnaˆıt des équations d’oscillateurs harmoniques, dont les solutions sont de la forme vx = a sin(ωt + φ)

(2.56)

vy = a cos(ωt + φ)

(2.57)

L’amplitude a et la phase φ sont les mêmes pour les deux équations car il faut satisfaire (2.54). Comme vx = 0 à t = 0, φ = 0. Comme vy (0) = v1 = a, on a vy = v1 cos(ωt) et vx = v1 sin(ωt). On intègre (2.56) par rapport au temps pour obtenir l’équation horaire : x(t) = −

v1 cos ωt + C ω

124

Pratique de la m´ ecanique

La constante C s’obtient de la condition initiale : x(0) = x0 = C −

v1 v1 =⇒ C = x0 + ω ω

Donc x(t) = x0 +

v1 v1 − cos ωt ω ω

Enfin, par int´egration de (2.57), il vient y(t) = y0 +

v1 sin ωt ω

La projection sur le plan (x, y) de la trajectoire a la propri´et´e :

x − x0 −

v1 2 v2 + (y − y0 )2 = 12 ω ω

14.3

Fig. 2.36 Déviation circulaire d’un faisceau d’électrons dans un tube cathodique de forme sphérique. Le faisceau est rendu visible par la présence d’un gaz a ` pression faible. Le point lumineux est la cathode générant le faisceau d’électrons. Des bobines de Helmoltz (hors du cadre de la photo) produisent le champ d’induction magnétique normal au plan de l’image.

C’est donc un cercle (fig. 2.36) de rayon r=

v1 mv1 = ω qB

(2.58)

Mise en contexte

Le cercle est parcouru en un temps qui ne dépend pas du rayon. Cette propriété a rendu possible la construction des premiers accélérateurs, appelés cyclotrons (§ 3.14.1).

Charges dans un champ magn´ etique, frottement sur plan inclin´ e

2.14.2

125

Exp´eriences avec frottements sec

Mesure des coefficients de frottement statique et cinétique On peut imaginer la mesure suivante des coefficients de frottement statique et cinétique µs et µc [26]. L’objet est posé immobile sur un plan incliné. En inclinant le plan de plus en plus, la pesanteur tend de plus en plus à faire glisser l’objet. Tant qu’il n’y a pas de glissement, N + F + P = 0. L’angle critique αs est celui qui provoque le décrochement, le début de la glissade. A cet angle, en projetant le bilan des forces sur la normale et la tangente à la surface, on a N = P cos αs µs N = P sin αs d’o` u on tire µs = tg αs . Pour mesurer µc on peut imaginer une expérience o` u le solide, soumis ` a la pesanteur, glisse à vitesse constante sur le plan incliné d’un angle αc (fig. 2.37). On a encore N + F + P = 0 et en projetant les forces comme avant : µc = tg αc . F

a a

Fig. 2.37 Plot arrêté ou en mouvement uniforme sous l’effet combiné de la pesanteur et de la force de frottement.

Exemple 2.8 Manche en bois soutenu par deux doigts Une conséquence amusante de la différence entre les coefficients cinétique et statique se manifeste dans l’expérience suivante. Un manche de bois est soutenu par deux doigts tendus (fig. 2.38), placés d’abord aux extrémités du manche. Les doigts sont lentement rapprochés. On observe qu’un seul doigt glisse ` a la fois. Ce phénomène est une conséquence de la différence des coefficients cinétiques et statiques de frottement (problème 5.10 ; [27]). A

Fig. 2.38 Les doigts soutiennent la barre en A et B. G est le centre de masse.

126

Pratique de la m´ ecanique

Exemple 2.9 Oscillation d’une barre sur deux roues Une variante de l’expérience précédente consiste à poser une barre sur deux poulies en rotations uniformes mais de sens de rotation opposés. La barre oscille parce qu’une roue est en régime de frottement statique, l’autre en régime de frottement cinétique (fig. 2.39). Comme ci-dessus pour les deux doigts, c’est ` a tour de rˆ ole que les poulies sont en régime statique ou cinétique, selon la position de la barre.

14.3

Fig. 2.39 Mouvement pendulaire d’une barre posée sur deux roues en rotation uniforme de même vitesse angulaire, mais de sens opposés.

Mise en contexte

Les nanosciences permettent de cerner les mécanismes du frottement à l’échelle atomique. La science des matériaux cherche toujours à obtenir des coefficients de friction aussi petits que possible (§ 3.14.2).

2.15 15.2

Exemples de référentiels accélérés

Ligne droite vue dans un référentiel en rotation Un petit montage (fig. 2.40) permet de repérer point par point dans un référentiel en rotation, la position d’un point matériel B qui suit une trajectoire rectiligne dans le référentiel de l’auditoire. La courbe du jet d’eau observée quand on utilise une caméra en rotation (fig. 1.28) est précisément celle obtenue par ce marquage.

A fil

tra

Fig. 2.40 Un plot B attaché a ` un fil tendu qui se déroule du disque A. On marque sur le disque tournant les positions occupées par le plot B

127

Exemples de r´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

Pendule dans train accéléré Un train sur une voie horizontale rectiligne a une accélération aa (A) = a constante. Le pendule est supposé immobile dans le train (fig. 2.41). Quel est l’angle d’inclinaison du pendule ? x2

a y1

Fig. 2.41 Pendule dans un train.

D’abord, décrivons la situation avec un référentiel absolu, le sol. Il y a deux forces, le poids mg et la tension du fil T . Le pendule a une accélération a = aˆ x1 . Projetons maa (P ) = F sur les axes Ox1 x2 : ma = T sin θ 0 = −mg + T cos θ On déduit : tg θ = a/g. Ensuite, reprenons la même situation en la décrivant par rapport au référentiel du wagon. Il faut tenir compte de la force d’inertie : mar (P ) = F − maa (A) Puisqu’on suppose que le pendule n’oscille pas, ar (P ) = 0. De plus, on a aa (A) = a = a y ˆ1 . Projetons sur Ay1 y2 : 0 = T sin θ − ma 0 = −mg + T cos θ Nous avons comme il se doit le même système d’équations. Poids apparent Quel est le poids apparent d’une personne dans un ascenseur accéléré ? Convenons que le poids est mesuré par l’extension d’un ressort quand il est au repos (fig. 2.42). Disons que l’ascenseur est accéléré vers le haut. Avec la notation usuelle, on a aa (A) = a = a y ˆ3 Projetons mar (P ) = −maa (A) + T sur l’axe y3 : mar = −mg + T − ma La mesure se fait quand le poids est immobile dans l’ascenseur. Par conséquent, la force de soutien T = m(a + g). T est cette mesure du poids apparent dans l’ascenseur.

128

Pratique de la m´ ecanique

ressort

T masse

Fig. 2.42 Mesure de poids dans un ascenseur d’acc´el´eration a.

Modèle de centrifugeuse Un point matériel pesant de masse m se déplace à l’intérieur d’un tube horizontal tournant ` a la vitesse angulaire Ω constante autour d’un axe vertical (fig. 2.43). Ce dispositif pourrait être un modèle de centrifugeuse. On admet qu’il n’y a pas de frottement. Le tube exerce sur le point matériel une force normale ` a la surface du tube. x3, y3

x1 mg

Fig. 2.43 Un point matériel astreint a ` se déplacer dans un tube en rotation. R est la réaction du tube.

On choisit ici de décrire le mouvement par rapport au tube en appliquant les résultats de la cinématique du mouvement relatif. On pourrait alternativement décrire ce système avec des coordonnées cylindriques dans le référentiel du laboratoire. On définit (fig. 2.43) : • •

le référentiel absolu : Ox1 x2 x3 , le référentiel relatif : Oy1 y2 y3 , avec Oy1 le long du tube.

Exemples de r´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

129

La réaction R est normale à la surface du tube : R = R2 y ˆ2 + R3 y ˆ3     y˙ 1 y¨1 v r = y˙ 2  ar = y¨2  y˙ 3 y¨3 Les contraintes sont y2 = y3 = 0 y˙ 2 = y˙ 3 = 0 On calcule alors les différents termes de l’accélération absolue : ω ∧ (ω ∧ AP ) = −ω 2 y1 y ˆ1 2ω ∧ v r (P ) = 2ω y˙ 1 y ˆ2 Les équations du mouvement sont ainsi : m y¨1 − ω 2 y1 = 0 m2ω y˙ 1 = R2 0 = R3 − mg La première équation permet de déterminer y1 (t). Les deux autres donnent alors la force de liaison R. On voit que la force de contrainte dans la direction y 2 est associée ` a l’accélération de Coriolis. La première équation peut être immédiatement intégrée en multipliant par y˙ 1 et en observant que l’expression (3) est une dérivée totale de 12 my˙ 12 − 12 mωy12 . Cette grandeur est donc constante . Pendule sur porte tournante Un pendule oscille dans le plan d’une porte en rotation uniforme (fig. 2.44). On choisit ici de résoudre ce problème par la méthode du mouvement relatif, en définissant : •

référentiel absolu : Ox1 x2 x3 et référentiel relatif : Ay1 y2 y3 ;

•

coordonn´ees cylindriques : ρ, φ, y3 ;

•

liaisons : y3 = 0, ρ = ` constante ;

•

vitesse angulaire de rotation de Ay1 y2 y3 par rapport `a Ox1 x2 x3 : ω constante.

Ainsi, dans cet exemple, on applique le formalisme du mouvement relatif, en utilisant des coordonnées généralisées relatives au référentiel relatif ! Les (3)

Ce n’est pas l’´ energie cin´ etique (signe), voir la section 1.10. L’´ energie cin´ etique 1 mω 2 y12 n’est pas conserv´ ee parce que R2 travaille. 2

1 my˙ 12 2

130

Pratique de la m´ ecanique

x3 A y3 φ

ω R

x2 y2 mg

porte y1

Fig. 2.44 Pendule sur porte tournante.

projections des vecteurs position, vitesse et accélérations sur le repère associé aux coordonnées cylindriques donnent   ` r = 0 0



 0 v r = `φ˙  0

  −`φ˙ 2 ar =  `φ¨  0

Par inspection du graphique, il est possible de poser : ˙ cos φˆ 2ω ∧ v r = −2ω φ` y3

(2.59)

En cas de doute, il faut passer par les projections. Faisons-le pour le terme centrip`ete :   −ω cos φ ω =  ω sin φ  0 donc 

 0  0 ω∧r = −ω` sin φ et  −ω 2 ` sin2 φ ω ∧ (ω ∧ r) = −ω 2 ` sin φ cos φ 0 

131

Exemples de r´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

Appelons R la composante de la force de liaison normale au plan et T la traction du fil du pendule. Les équations du mouvement s’obtiennent après avoir projeté la pesanteur :     −`φ˙ 2 − ω 2 ` sin2 φ mg cos φ − T m `φ¨ − ω 2 ` sin φ cos φ =  −mg sin φ  ˙ cos φ R −2ω φ` Ces équations auraient pu être obtenues plus directement en utilisant les coordonnées sphériques dans le référentiel absolu. C’est bien ce qu’il faut : si nous utilisons les mêmes coordonnées pour deux visions, nous devons trouver le même résultat. (Attention : en coordonnées sphériques notre ω serait un −φ˙ et notre φ serait le θ des coordonnées sphériques.) Exemple 2.10 Cinématique dans la perspective du mouvement relatif Il y a des termes de l’accélération en coordonnées cylindriques qui sont identifiables ` a l’accélération centripète et à l’accélération de Coriolis du mouvement relatif. z

ez ρ eφ P eρ v

ez ex O φ

Fig. 2.45 Le repère des coordonnées cylindriques vu comme un référentiel relatif !

Le repère O, x, y, z est ici considéré comme référentiel absolu, le repère O, u, v, z comme référentiel en rotation qui suit le point P (fig. 2.45). Le ˙ z. vecteur de vitesse angulaire est donc ω = φe Exprimons la vitesse et l’accélération du point P dans le référentiel (O, u, v, z) en utilisant le formalisme du mouvement relatif : ˙ z ∧ ρˆ v a (P ) = v r (P ) + Ω ∧ OP = ρˆ ˙ u + z˙ zˆ + φe u + z zˆ ˙ v = ρe ˙ φ + z˙ zˆ = ρˆ ˙ u + z˙ zˆ + ρφˆ ˙ ρ + ρφe

132

Pratique de la m´ ecanique

On retrouve bien la formule établie pour la vitesse ! Il en va de même pour l’accélération : aa (P ) = ar (P ) + ω ∧ (ω ∧ OP ) + ω ˙ ∧ OP + 2ω ∧ v r ˙ z ∧ φe ˙ z ∧ ρeρ + zez + φe ¨ z ∧ ρeρ + zez = ρëρ + zëz + φe ˙ z ∧ ρe + 2φe ˙ ρ + ze ˙ z = ρëρ + zëz − ρφ˙ 2 eρ + 2φ˙ ρe ˙ φ 2 ˙ ¨ = ρ¨ − ρφ eρ + zëz + ρφ + 2φ˙ ρ˙ eφ

Mise en contexte

Au début du xxe siècle, pour explorer la structure intérieure des atomes, il suffisait d’utiliser les particules émanant d’une substance radioactive. L’énergie d’interaction entre la particule incidente et le noyau était suffisamment grande pour que la particule soit rétro- diffusée, indiquant une charge positive de très petite taille (sect. 3.15).

2.16 16.2

2.16.1

Mouvements `a la surface de la Terre

Perturbation du mouvement vertical

On considère une chute libre ou un tir vertical à la surface de la Terre. Pour alléger les écritures, les coordonnées cartésiennes dans le référentiel relatif (A, y1 , y2 , y3 ) seront dénotées (x, y, z) (fig. 2.46). Les deux mouvements peuvent s’exprimer par les conditions initiales : v r (t = 0) = v0 zˆ et r(t = 0) = z0 zˆ. w

j w

A l

Fig. 2.46 Ax vers le sud, Az vertical vers le haut, Ay vers l’est, co-latitude λ, latitude ϕ.

On projette l’´equation du mouvement (1.26) de la dynamique terrestre ar (P ) = g +

F − 2ω ∧ v r (P ) m

Mouvements ` a la surface de la Terre

133

obtenue dans le rep`ere (A, x ˆ, y ˆ, zˆ), en utilisant l’angle de latitude ϕ au lieu de la co-latitude λ et en n´egligeant toutes les corrections d’ordre ω 2 . On a       −ω cos ϕ x˙ 0  0 ω= v rel (P ) =  y˙  g= 0  ω sin ϕ z˙ −g

 

−2yω ˙ sin ϕ

ˆ −ω cos ϕ x˙

ˆ 0 y˙

=  2xω ˙ sin ϕ + 2zω ˙ cos ϕ  2ω ∧ v rel (P ) = 2

zˆ ω sin ϕ z˙

−2ω cos ϕy˙ Les ´equations du mouvement sont ainsi : x ¨ = +2yω ˙ sin ϕ

(2.60)

y¨ = −2zω ˙ cos ϕ − 2xω ˙ sin ϕ

(2.61)

z¨ = +2ω cos ϕy˙ − g

(2.62)

On peut int´egrer (2.60) : x(t) ˙ − x(0) ˙ = +2 y(t) − y(0) ω sin ϕ |{z} |{z} =0

x˙ = +2ω sin ϕy L’´equation (2.62) fournit z(t) ˙ − z(0) ˙ = +2ω cos ϕ y(t) − y(0) − gt |{z} |{z} v0

c’est-` a-dire : z˙ = v0 − gt + 2ω cos ϕy. On peut substituer ces expressions de x˙ et z˙ dans (2.61) : y¨ = −2[v0 − gt + 2ω cos ϕy]ω cos ϕ − 2[2ω sin ϕy]ω sin ϕ c’est-` a-dire : y¨ = −2ω cos ϕ(v0 − gt) − 4ω 2 y. Comme on néglige tous les termes 2 en ω , on a en première approximation : y¨ ' −2ω cos ϕ(v0 − gt) Cette approximation est un exemple de calcul de perturbation au premier ordre. Cette méthode permet d’intégrer simplement, compte tenu des conditions initiales : 1 1 y(t) = −2ω cos ϕ v0 t2 − gt3 2 6 On a trouvé y(t), qui représente une déviation de la verticale, non nulle, de l’ordre de grandeur de ω. On peut alors la substituer dans l’expression de z. ˙ Il apparaˆıt un terme en ω 2 qui doit être négligé pour maintenir la cohérence des approximations : 1 1 z˙ = v0 − gt − 4ω 2 cos2 ϕ v0 t2 − gt3 2 6 | {z } n´ eglig´ e

134

Pratique de la m´ ecanique

Par int´egration, on tire

1 2 gt 2 Ainsi, dans la verticale, tout se passe comme si la Terre ´etait fixe, `a cet ordre d’approximation. z(t) = z0 + v0 t −

On estime maintenant la déviation de la verticale dans le cas du tir vertical vers le haut, partant de z0 = 0. Le sommet de la trajectoire est atteint quand z˙ = 0, donc t = v0 /g. Le temps de la montée plus celui de la descente vaut T = 2v0 /g. Par conséquent, la déviation dans la direction y vaut : 4 v3 y(T ) = − ω cos ϕ 02 3 g Comme y(t) < 0, il s’agit d’une déviation vers l’ouest. Une vérification expérimentale de l’effet de la rotation de la Terre a été conduite pour une chute verticale. La dérivation ci-dessus appliquée à une chute verticale donne lieu à une déviation vers l’est. Une chute d’une hauteur de 158 m à la latitude ϕ = 51◦ produit une déviation de 2,8 cm. 2.16.2

Perturbation du mouvement horizontal

Il vient des ´equations du mouvement (2.60-2.62) sous la contrainte z = constante : x ¨ = +2ω y˙ sin ϕ

(2.63)

y¨ = −2ω x˙ sin ϕ

(2.64)

Un petit croquis (fig. 2.47) permet de se convaincre que ces équations prévoient une déviation vers la droite quand on regarde dans le sens de v, si sin ϕ > 0, c’est-` a-dire si le mouvement se passe dans l’hémisphère Nord. La déviation est a gauche dans l’hémisphère Sud. ` Rt Rt L’intégration de l’équation fournit : 0 x ¨ dt = 0 2ω y˙ sin ϕ dt, soit : x(t) ˙ − x(0) ˙ = 2ω sin ϕ y(t) − y(0) y (nord)

x¨ a

y¨

x (est)

Fig. 2.47 Le terme de Coriolis implique une déviation a ` droite dans l’hémisphère Nord.

135

Mouvements ` a la surface de la Terre

Avec les conditions initiales : x(0) = y(0) = 0, il reste : x(t) ˙ = 2ω sin ϕy(t) + x(0). ˙ Mais on ne connaˆıt pas encore y(t). On passe donc à l’équation (2.64). Si ω = 0, alors y(t) = y(0)t, ˙ car le mouvement est rectiligne, uniforme et horizontal. Si ω 6= 0, alors y(t) diffère de y(0) ˙ par une quantité proportionnelle à ω, au premier ordre d’approximation. Cette correction, quand elle est substituée dans l’équation pour x(t), ˙ fournit un terme proportionnel à ω 2 . Alors, on néglige cette correction pour ne garder que des termes du premier ordre en ω : x(t) ˙ = 2ω sin ϕ y(0)t ˙ + x(0) ˙ Il s’agit encore une fois d’un calcul de perturbation au premier ordre. On peut procéder de manière similaire pour l’équation (2.64) : y(t) ˙ = −2ω sin ϕ x(0)t ˙ + y(0) ˙ On peut alors intégrer encore une fois : 2 x(t) = ω sin ϕy(0)t ˙ + x(0)t ˙ 2 y(t) = −ω sin ϕx(0)t ˙ + y(0)t ˙

Pour mieux révéler le sens physique de cette approximation, on note s la déflection au temps t par rapport à la trajectoire rectiligne : q 2 2 s= x − x(0)t ˙ + y − y(0)t ˙ = ωt sin ϕv0 t (2.65) p avec v0 = x(0) ˙ 2 + y(0) ˙ 2 . Le résultat est écrit de cette manière pour faire apparaˆıtre l’angle ωt de rotation de la Terre pendant le temps t et la vitesse dans le plan parallèle au plan de l’équateur (sin ϕv0 ). On exprime ainsi le résultat qu’aurait déduit naturellement un observateur regardant la Terre depuis un point « au-dessus » du pˆ ole Nord (fig. 2.48), dans un référentiel lié aux étoiles. N v0 sin ϕ

ωt

sin ϕ v0 t

Fig. 2.48 Interprétation géométrique pour un tir vers le sud : la vitesse dans le plan normal a ` l’axe de la Terre vaut v0 sin ϕ.

2.16.3

Pendule de Foucault

Foucault (1819-1868) veut montrer que la Terre n’est pas un r´ef´erentiel 16.3 d’inertie. Il fait construire un pendule de 67 m de long, avec une masse de

136

Pratique de la m´ ecanique

16.3

Fig. 2.49 Le plan d’oscillation est fixe dans le référentiel du laboratoire. Par contre, il semble tourner quand il est vu du référentiel de la plate-forme en rotation.

28 kg, suspendue dans le Panthéon, à Paris. La rotation du plan d’oscillation du pendule peut se comprendre immédiatement, en considérant un petit pendule monté sur une plate-forme en rotation (fig. 2.49). Les considérations du mouvement horizontal à la surface de la Terre permettent d’estimer la vitesse de rotation du plan d’oscillation du pendule de Foucault. A tout moment de l’oscillation du pendule, il y a déflexion vers la

0°

-10

16.3

10°

0°

Fig. 2.50 Les auditoires de physique de l’EPFL ont mis au point un pendule de Foucault relativement court. Une diode laser suspendue au bout du pendule permet de suivre les oscillations sur un verre dépoli marqué d’une échelle graduée en angles.

137

Mouvements ` a la surface de la Terre

droite. On applique la formule (2.65) pour la déviation, prenant le temps zéro comme étant n’importe quel moment de l’oscillation : s = ω sin ϕv(0)t2 avec t considéré infiniment petit pour que la vitesse horizontale puisse être considérée constante pendant le temps t. La déviation angulaire vaut ∆φ = s/v0 t = ω sin ϕt. Par conséquent la vitesse angulaire est donnée par ∆φ/t = φ˙ = ω sin ϕ. En 10 minutes, ∆θ vaut sin ϕ · 7 × 10−5 × 10 × 60 = sin ϕ(0,04 radian) = sin ϕ(2,4 degrés) C’est une déviation qui peut se mesurer même dans un auditoire (fig. 2.50). Pour obtenir une bonne mesure de la déviation angulaire, quelques précautions expérimentales sont ` a observer. Le pendule est lancé depuis une position latérale dans laquelle il est retenu par un électro-aimant. Le pendule est monté sur un cadre soutenu par un coussin d’air (fig. 2.51). Un aimant provoque des courants dans le cadre qui amortissent les modes de torsion du pendule.

N S

Fig. 2.51 Support a ` coussin d’air au point d’ancrage du pendule de Foucault.

Remarque. Il est possible de rendre compte du mouvement du pendule de Foucault en utilisant les coordonnées sphériques et en traitant la Terre comme un référentiel accéléré (problème 5.9). Mise en contexte

Ainsi le pendule de Foucault démontre que la Terre tourne sur elle-même. D’autres observations mettent en évidence un autre mouvement de la Terre, beaucoup plus lent, correspondant à une évolution de l’orientation de l’axe de la Terre, appelée « précession ». A la section 3.16, les angles d’Euler sont définis. Ils permettent de décrire ces mouvements de la Terre aussi bien que ceux d’une toupie.

138

Pratique de la m´ ecanique

2.17 17.2

Application des principes de conservation

On examine ici les conséquences des principes de conservation du paragraphe 1.17.4. On commence par les conséquences de la conservation de la quantité de mouvement pour le recul du canon, puis on montrer comment on peut rendre compte de la poussée d’une fusée. Finalement, on applique la conservation du moment cinétique à deux cas de points matériels (§ 2.17.3).

2.17.1

Conservation de la quantit´e de mouvement

Recul du canon On considère le dispositif sur rail à air de la figure 2.52. On se demande quelle est la vitesse du plot après le temps t de l’explosion s’il avait initialement une vitesse v quand il était dans le canon. ∆m est la masse du piston, M0 la masse du plot. On caractérise l’effet de l’explosion à t par la vitesse u d’éjection du piston. Cette vitesse u est relative au canon : •

avant : P = (M0 + ∆m)v ;

•

apr`es : P = M0 (v + ∆v) + ∆m(u + v + ∆v).

17.3

Fig. 2.52 Un tube est monté sur un plot de rail ` a air. Un piston est enfilé dans le tube, puis de l’hydrogène est inséré au fond du tube. Une décharge électrique provoque l’explosion du gaz. Le piston est éjecté.

La vitesse du plot éjecté est donnée par la somme vectorielle de la vitesse du canon et de celle du plot par rapport au canon. La conservation de la quantité de mouvement totale implique (M0 + ∆m) ∆v = −∆mu Si u est opposé ` a v, alors ∆v augmente v, conformément à l’intuition. Si v = 0 et M0 = ∆m, on trouve que les deux objets s’éloignent avec des vitesses égales et opposées, ∆v et −∆v (c’est le cas de la figure 1.4).

Application des principes de conservation

2.17.2

139

Pouss´ee d’une fus´ee

L’exemple le plus caractéristique d’un système ouvert est celui de la fusée. Admettons que la masse de la fusée m diminue selon une loi m = m(t) donnée. Les gaz sont éjectés ` a la vitesse d’éjection u, mesurée par rapport à la fusée elle-même. On considère l’évolution sur un temps ∆t petit. Entre t et t + ∆t, la masse de la fusée varie : m(t + ∆t) = m(t) + dm ejectée pendant dt ∆t. La masse ´ ∆t vaut dm ∆t δm = − dt La vitesse de la fusée passe de v au temps t à v + δv au temps t + δt. On considère le système fermé composé de la fusée et de son carburant. Sa quantité de mouvement vaut p(t) = mv, au temps t. Au temps t + δt, la fusée a diminué de masse. La masse éjectée δm a une vitesse u + v par rapport au référentiel (1.22). La quantité de mouvement de la fusée et de son carburant éjecté vaut donc au temps t + δt : p(t + δt) = m(t + δt)(v + δv) + δm(u + v) dm dm = m+ δt (v + δv) − δt(u + v) dt dt

(2.66)

La deuxième loi de Newton dans sa formulation généralisée (en terme de quantité de mouvement) implique que si la fusée subit une force F , par exemple c l’attraction terrestre, et le carburant éjecté une force F , on a p(t+δt)−p(t) = c F + F δt. De (2.66), il vient ainsi F + F c δt =

dm dm δt (v + δv) − δt(u + v) − mv dt dt

17.3

Fig. 2.53 Une bonbonne de CO2 est plac´ee sur un chariot. Le professeur s’assied sur le chariot, ouvre la bouteille et s’en va dans un vacarme assourdissant. . .

140

Pratique de la m´ ecanique

On prend alors la limite δt → 0, par conséquent les termes du deuxième ordre de (2.66) tombent. Le terme F c δt est du deuxième ordre parce que le module de F c est de l’ordre de δm. En réarrangeant les termes, il vient ainsi m

dv dm = u+F dt dt

(2.67)

On peut voir ce calcul comme l’extension à une perte de masse continue du calcul du recul du canon. En jetant une masse δm dans la direction u, on obtient une accélération dans le sens opposé à u (car dm dt < 0). On appelle pouss´ ee le terme dm u. dt En projetant le gaz d’une bonbonne montée sur un chariot, on peut le faire avancer même si une personne y est assise (fig. 2.53).

2.17.3

Conservation du moment cin´etique

Pour un système isolé, le moment cinétique total est conservé. Plus généralement, on a vu qu’il est possible d’invoquer la conservation d’une projection du moment cinétique sur un axe fixe, si le moment résultant des forces extérieures a une projection nulle sur cet axe. Par exemple, lorsque une personne est assise sur un tabouret tournant (fig. 2.54), on peut supposer en première approximation que l’axe vertical n’exerce aucun moment dans la direction verticale, dans la mesure o` u les frottements sont négligeables. Par conséquent, la composante verticale du moment cinétique peut être considérée comme une grandeur conservée. Alors, quand la personne assise rapproche les deux haltères qu’elle tenait à bout de bras, son moment d’inertie I∆ par rapport à l’axe vertical diminue, car la valeur des distances dα de ces deux masses à l’axe est fortement diminuée. Comme la

19.3

Fig. 2.54 Un tabouret est monté sur une plate-forme tournant sur un axe vertical avec très peu de frottement. La personne rapproche ou éloigne deux haltères.

Application des principes de conservation

141

composante verticale du moment cinétique est conservée, la vitesse angulaire augmente. Exemple 2.11 Force centrale (fig. 2.55) Un point matériel subit une force centrale s’il existe un point O du référentiel tel qu’en tout temps la force soit dirigée vers ce point O. C’est le cas d’une planète dans le champ de gravitation du Soleil. Cette définition est d’importance ` a cause du problème de Kepler, c’est-à-dire du mouvement des planètes (sect. ??). Pour toute force centrale de centre O, on a, par définition, F parallèle à OP donc dL0 /dt = OP ∧ F = 0. Le moment cinétique L0 défini en O est une constante du mouvement.

Fig. 2.55 Mouvement circulaire, changement de rayon en supposant que le moment cin´etique est conserv´e.

Dans un auditoire, on peut imaginer le cas d’une masse sur une table à air, reliée ` a un point O de la table par un fil de longueur variable (fig. 2.55). Lan¸cons la masse avec une longueur de fil fixe r1 , de fa¸con que la vitesse angulaire soit ω1 . La vitesse du point matériel est donnée par v = ω ∧ r. Son moment cinétique en O est donné par L0 = OP ∧ mv. La force est dans le sens du fil, donc centrale et, par conséquent, le moment cinétique est conservé. Le module du moment cinétique vaut |L0 | = mr12 ω1 . Changeons la longueur du fil de manière que le rayon du cercle décrit passe de r1 à r2 . La conservation du moment cinétique implique mr12 ω1 = mr22 ω2

Mise en contexte

L’idée d’éjecter de la masse pour obtenir une poussée a donné lieu à des développements modernes pour la propulsion (sect. 3.17).

142

Pratique de la m´ ecanique

2.18 18.2

Mouvements particuliers des solides

On appelle translation un mouvement du solide dans lequel tout vecteur AP lié au solide reste parallèle à une direction fixe d0 du référentiel R0 (fig. 2.56).

0 x2 x1

A A

Fig. 2.56 R´ef´erentiel et trois positions d’un solide en translation.

De AP = constante, on tire AP = AO + OP = constante et donc OP = OA + constante. On en déduit que les trajectoires des points du solide sont égales, mais translatées. On note que : •

La trajectoire d’un point d’un solide en translation peut ˆetre un cercle !

•

V (P ) = V (A) pour tout A et P du solide, donc ω = 0.

On parle de mouvement plan sur plan d’un solide S par rapport à un référentiel R0 lorsqu’un plan π1 de S reste constamment sur un plan π0 de R0 (fig. 2.57). P1

p1 p0

Fig. 2.57 Deux plans parall`eles et deux points particuliers de chaque plan.

Proposition 2.2 Centre instantané de rotation. Dans un mouvement plan sur plan, la vitesse instantanée de tous les points est soit celle d’une translation, soit celle obtenue par rotation instantanée autour d’un point. Ce point est appelé centre instantan´ e de rotation.

Mouvements particuliers des solides

143

´monstration. On considère le mouvement d’un plan π1 parallèle à un De plan π0 du référentiel. Soit A1 un point du plan π1 . Pour tout point P1 de π1 , on a v(P1 ) = v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 Si ω = 0, on a une translation. Si ω 6= 0, alors on peut toujours résoudre l’équation suivante pour le centre instantané de rotation I10 : v(P1 ) = v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 = ω ∧ I 10 P 1 =⇒ v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 −I 10 P 1 = 0 =⇒ v(A1 ) + ω ∧ A1 I 10 = 0 On peut résoudre explicitement en projetant sur un système d’axes Oxyz de π0 , avec Oz normal au plan :

  



ˆı 0 x − xA

vx vx − ω(y − yA )

vy  + ˆ 0 y − yA = vy + ω(x − xA ) = 0

kˆ ω 0 0 0

Il vient alors pour les coordonn´ees du centre instantan´e de rotation : y=

vx + yA ω

x=−

vy + xA ω

Le lieu géométrique du centre instantané de rotation I10 dans le référentiel fixe est appelé la « base ». Le lieu géométrique de I10 en tant que point du solide, la « roulette ». On peut montrer que le mouvement a lieu comme si la roulette roulait sans glisser sur la base. Remarque. Une autre particularité du mouvement plan-sur-plan est la suivante. Trois plans parallèles en mouvement les uns par rapport aux autres définissent trois centres instantanés de rotation. Ces trois points sont alignés. Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Kennedy (démonstration dans le problème 5.31). Un roulement sans glissement est une rotation instantanée autour du point P du solide en contact avec le support utilisé comme référentiel. Par conséquent, la vitesse de P doit être égale à la vitesse u du support. En d’autres termes : v(P ) = V A + ω ∧ AP = u

Exemple 2.12 On peut d´evelopper un sens intuitif de ce roulement sans glissement en consid´erant la vitesse de tout point d’un cercle roulant sans glisser sur une droite immobile (fig. 2.58). En particulier, au point de contact, la vitesse

144

Pratique de la m´ ecanique

de P3 dans le référentiel lié à G est égale et opposée à la vitesse de la translation V G . ω∧GP1 P2

ω∧GP2

P3 V(P3)= VG + ω∧GP3 = 0

Fig. 2.58 Roulement sans glissement.

Il arrive souvent qu’une vitesse de rotation soit relative à un objet lui-même en rotation. On pourrait par exemple discuter de la rotation d’un moteur fixé sur une plate-forme tournante. La vitesse du rotor sera naturellement définie par rapport au stator, donc par rapport à la plate-forme. Cependant, on voudra toujours traiter les problèmes de solide avec un référentiel absolu ! La situation peut être schématisée comme indiqué sur la figure 2.59. y3 y2 x3 A

Fig. 2.59 Solide en rotation de vitesse angulaire ω rel par rapport au système d’axes Ay1 y2 y3 , lui-même en rotation de vitesse angulaire Ω par rapport au référentiel Ox1 x2 x3 .

On a pour la vitesse relative de tout point du solide : v rel (P ) = v rel (G) + ω rel ∧ GP o` u ω rel décrit la rotation du solide par rapport au référentiel relatif. La vitesse absolue du point P du solide est donnée par v a (P ) = v a (A) + Ω ∧ AP + v rel (P ) = v a (A) + Ω ∧ AG + Ω ∧ GP + v rel (G) + ω rel ∧ GP

145

Point de r´ ef´ erence du moment cin´ etique

Soit, en regroupant les termes, v a (P ) = v a (A) + v rel (G) + Ω ∧ AG + (Ω + ω rel ) ∧ GP Or v a (G) = v a (A) + Ω ∧ AG + v rel (G). Il reste ainsi : v a (P ) = v a (G) + ω a ∧ GP o` u ω a décrit la rotation relative au référentiel absolu, avec ω a = Ω + ω rel . Un solide est en rotation par rapport ` a un axe fixe si deux points A, B du solide sont fixes dans le référentiel. Les propriétés suivantes sont immédiates : •

L’axe de rotation ∆ contient A et B.

•

Tous les points de l’axe ont une vitesse nulle.

•

Les points hors de l’axe ont un mouvement circulaire.

•

a(P ) = ω ˙ ∧ AP − ω 2 OP , o` u O est le centre du cercle d´ecrit par P .

La dernière proposition découle de v(P ) = ω ∧ AP avec A sur l’axe. En dérivant, on tire a(P ) = ω ˙ ∧ AP + ω ∧ (ω ∧ AP ). Comme dernier exemple de mouvement particulier, on mentionne le mouvement arbitraire d’un corps solide indéformable avec un point fixe. Le théorème d’Euler stipule qu’il s’agit d’une rotation (§ 5.1). Mise en contexte

On est allé au-del` a du modèle du point matériel en modélisant un objet comme un solide indéformable. Ce faisant, on occulte la question de savoir ce qui maintient le solide dans sa configuration rigide. Ce sont des forces intérieures. Pour rendre plus clair ce concept de forces intérieures, on examine, à la section 3.18, des objets de forme aussi simple que possible : des fils ou des chaˆınettes.

2.19

Point de référence du moment cinétique

Quand on a établi les lois de la dynamique du solide, on a utilisé le moment 19.2 cinétique en O, un point du référentiel, ou en G, le centre de masse (§ 1.19.1). Il est utile parfois de définir le moment cinétique en A quelconque, en mouvement par rapport au référentiel : LA =

APα ∧ mα v α

(2.68)

Proposition 2.3 Th´eor`eme du transfert. Soient O et A deux points quelconques. On a LA = AO ∧ M V G + LO (2.69)

146

Pratique de la m´ ecanique

Il suffit de partir de la d´efinition de LA : X X LA = APα ∧ mα v α = (AO + OPα ) ∧ mα v α

´monstration. De

= AO ∧

mα v α +

OPα ∧ mα v α

= AO ∧ M V G + LO On a conclu en utilisant le r´esultat (1.38) exprimant la quantit´e de mouvement totale en fonction de la vitesse du centre de masse. Exemple 2.13 On a en particulier : LO = OG ∧ M V G + LG

(2.70)

Cette relation entre le moment cinétique calculé pour un point de référence qui appartient au référentiel et pour le centre de masse est une des plus utilisées dans la résolution de problèmes de mécanique de solides indéformables.

Exemple 2.14 Soient O et O0 deux points du r´ef´erentiel. On a LO 0 = LO + O 0 O ∧ M V G

(2.71)

On peut choisir d’exprimer les vitesses v α en termes des vitesses v 0α dans le référentiel centre de masse. On définit X L0G = GPα ∧ mα v 0α (2.72) α

Proposition 2.4

Pour tout point A, LA = AG ∧ M V G + L0G

(2.73)

LG = L0G

(2.74)

En particulier ´monstration. On introduit dans la définition du moment cinétique une De décomposition des vitesses v α en terme de la vitesse du centre de masse V G et des vitesses relatives au référentiel centre de masse v 0α : X X LA = {APα ∧ mα v α } = (AG + GPα ) ∧ mα V G + v 0α α

X = AG ∧ M V G + GPα ∧ mα v 0α α

147

Point de r´ ef´ erence du moment cin´ etique

On a utilis´e les ´equations (1.28) et (1.29) : X mα GPα = 0 et α

mα v 0α = 0

Finalement, en posant A = G, il reste LG = L0G . Cela signifie que lorsqu’on calcule un moment cinétique par rapport au centre de masse, on peut prendre indifféremment les vitesses mesurées dans le référentiel d’inertie ou dans le référentiel du centre de masse. On considère maintenant les moments des forces F α exercées sur les points Pα . Proposition 2.5 Théorème du transfert pour les moments de forces. et O deux points quelconques : X M A = M O + AO ∧ Fα

Soient A

(2.75)

´ D Pemonstration. α AP α ∧ F α : MA =

On applique la d´efinition du moment de force, M A = X X (AO + OPα ) ∧ F α = M O + AO ∧ Fα α

Proposition 2.6 Théorème du moment cinétique. le moment cinétique en A est

L’´equation d’´evolution pour

dLA = M ext A − VA ∧ MVG dt

(2.76)

´monstration. On d´erive par rapport au temps LA = LO + AO ∧ M V G , De on a dLA dLO dV G = − V A ∧ M V G + AO ∧ M dt dt dt X ext ext = M O + AO ∧ F α − VA ∧ M V G α

On conclut en appliquant (2.75) pour M ext ere expression. A dans la derni`

Exemple 2.15 L’équation d’évolution du moment cinétique se simplifie pour les cas particuliers suivants : si V A = 0 ou si V A est parallèle à V G alors dLA = M ext A dt

148

Pratique de la m´ ecanique

Exemple 2.16 Il est bon de retenir la forme simple obtenue en prenant le centre de masse comme point de r´ef´erence : dLG = M ext G dt

(2.77)

Les résultats ci-dessus sont valables pour n’importe quel système de points matériels. On introduit maintenant l’hypothèse du solide indéformable dans la définition du moment cinétique. Proposition 2.7 Moment cinétique du solide. Soit A un point quelconque du solide : X LA = AG ∧ M V A + mα APα ∧ (ω ∧ APα ) (2.78) α

´monstration. On applique la définition du moment cinétique et la cinéDe matique du solide indéformable : X X LA = APα ∧ mα v α = APα ∧ mα V A + (ω ∧ APα ) α

= AG ∧ M V A +

mα APα ∧ ω ∧ APα

Exemple 2.17 Pour le moment cin´etique en G, il reste simplement X LG = mα GPα ∧ ω ∧ GPα

(2.79)

Proposition 2.8 Composantes du tenseur d’inertie. Pour tout point A du solide, LA = AG ∧ M V A + I A ω, avec X IAij = mα AP 2α δi,j − APα,j APα,i (2.80) α

´monstration. Dans (2.78), la somme a la même forme que celle pour De LG et, par conséquent, on peut définir un tenseur d’inertie au point A de la même forme que pour IGij . Exemple 2.18 Si l’on prend comme point de référence un point C du solide qui est fixe, LC = I C ω

(2.81)

Point de r´ ef´ erence du moment cin´ etique

149

Lorsqu’on se soucie d’une résolution efficace d’un problème de dynamique de corps solide indéformable, on peut voir sa tâche grandement facilitée par un choix judicieux du point de référence A. On peut, par exemple, vouloir faire disparaˆıtre de M ext A les contributions de forces inconnues, telles que les forces de réaction. C’est le cas du problème de la toupie, la réaction du support n’est en général pas intéressante. Ainsi, on prendra le point d’appui de la toupie comme point de référence pour obtenir des équations du mouvement pour les angles d’Euler seulement (données à l’exercice 6.86). Quand une boule frappe le bord d’une marche (fig. 5.47) et tourne autour de ce bord, les forces de réaction dues ` a la collision sont difficiles à estimer et on pourra invoquer la conservation pendant le choc du moment cinétique par rapport au bord de la marche (problème 5.38). Pour le pendule accroché à un chariot sur un banc à air (fig. 2.60), l’utilisation de l’équation du mouvement pour le moment cinétique centré au point d’attache A du pendule fournit directement la période des oscillations de petites amplitudes.

Fig. 2.60 Chariot sur un banc a ` air et muni d’un pendule libre d’osciller dans le plan vertical qui contient le banc a ` air. Le mouvement pendulaire combin´e au mouvement de translation paraˆıt complexe. Cependant le centre de masse suit un mouvement horizontal uniforme dans la mesure o` u on peut n´egliger les frottements.

Ce formalisme n’est de loin pas trivial dans son application. Il y a lieu en effet de bien s’assurer qu’on recourt à des définitions précises des grandeurs utilisées, qu’on soit au clair sur le point de référence et sur le choix du référentiel [28]. Cependant, le choix du point de référence ne peut être rien d’autre qu’une question de commodité. En effet les équations de la dynamique (théorème du centre de masse et du moment cinétique) doivent suffire à décrire le mouvement d’un solide. N’importe quelle expression du théorème du moment cinétique peut être utilisée. Mise en contexte

Pour de nombreux ingénieurs, les moments de forces sont plus importants que les moments cinétiques. Ces moments apparaissent quand on considère la statique de structures comme des ponts formés d’un treillis de tiges ou quand on considère les contraintes dans des poutres portantes. Ces moments de force sont examinés ` a la section 3.19.

150

Pratique de la m´ ecanique

2.20 20.2

Calculs de moments d’inertie

Calcul d’une composante du moment cin´etique

Un cylindre est en rotation de vitesse angulaire ω autour de son axe de symétrie (fig. 2.61). Disons que cet axe est l’axe 3. La composante sur cet axe 3 du moment cinétique de tout point du cylindre vaut Lα,3 = mα d2α ω. Or le moment cinétique du cylindre est la somme des moments cinétiques de toutes les masses infinitésimales des P points matériels Pα . Cette somme est justement ω fois le coefficient IC33 = α mα d2α , comme il se doit. Le sens physique de la projection du moment cinétique sur l’axe de rotation est donc immédiat. Cependant, on ne doit pas en conclure que le moment cinétique est parallèle au vecteur instantané de rotation !

Fig. 2.61 L et ω ne sont align´es que si ω est parall`ele a ` un axe principal d’inertie.

Non-parall´elisme du moment cin´etique et de la vitesse angulaire

Considérons une roue dont l’axe de rotation est supposé fixe, la vitesse angulaire constante, mais l’axe n’est pas un axe principal d’inertie (fig. 2.62). Du fait que les axes 1, 2 et 3 sont des axes principaux d’inertie, on a pour chaque composante du moment cinétique dans le repère porté par ces axes :

y3 q

Fig. 2.62 Exemple de roue mal équilibrée, l’axe de rotation donné par ω n’est pas sur un axe principal d’inertie.

151

Calculs de moments d’inertie

LGk = Ikk ωk . En particulier, LG3 = I33 ω3 = I33 |ω| cos θ est non nul. Ainsi, LG a une composante perpendiculaire à l’axe : LG n’est pas parallèle à ω ! Ce non-parallélisme a une conséquence physique importante : un moment de force doit être exercé sur l’axe pour maintenir cette rotation uniforme (§ 1.21.2). Tenseur d’inertie d’un anneau

Soit un anneau de rayon R, de masse M . Prenons le choix d’axes de la figure 2.63. Calculons explicitement les composantes du tenseur d’inertie I G pour constater que seuls les composantes diagonales sontP non nulles. De l’expression 2 (1.53) du tenseur en G, on a en particulier IG11 = α mα R2 − y1α . y3

ma G

Fig. 2.63 El´ement de masse sur un anneau, choix des axes de coordonn´ees.

Pour faire le calcul, on passe à la limite d’éléments de masse infiniment petits, la somme devient ainsi une intégrale. Pour tout corps homogène dont on connaˆıt la masse, on invoque pour le passage à l’intégrale la densité, déduite simplement en divisant la masse par le volume. Ici, on a un anneau de dimensions latérales négligeables, alors on a une densité linéique M/2πR. Ainsi la somme devient X α

2 mα y2α

Z −→

dmy22

Z2π =

R dθ 2πR

M (R cos θ)2

1 = 2π

Z2π

M R2 cos2 dθ =

1 M R2 2

On obtient donc I11 P = 12 M R2 . Considérons un élément hors diagonale. On a, par exemple : I12 = α mα [0 − y1α y2α ]. Dans cette somme, pour chaque y2α , il y a 2 positions symétriques avec y1α négatif et positif, donc cette somme s’annule. Il en va de même de I13 et I23 . Par conséquent, les axes choisis sont les axes principaux d’inertie au point G.

152

Pratique de la m´ ecanique

Formule de Steiner pour un moment d’inertie

On veut trouver la relation entre le moment d’inertie par rapport à un axe de direction donnée, et la valeur du moment d’inertie par rapport à un axe de (4) même direction, passant par le centre de masse . Soit un solide en rotation autour d’un axe fixe ∆, à la vitesse angulaire ω, A un point de l’axe, u ˆ le vecteur unité porté par l’axe. On a d’une part la relation entre LA et LG (2.73) et d’autre part la définition du moment d’inertie IG∆ par rapport ` a l’axe parallèle ` a l’axe de rotation et passant par G (1.56). On en tire LA · u ˆ = M AG ∧ ω ∧ AG · u ˆ + IG∆ ω = M d2G + IG∆ ω o` u dG est la distance de G a` l’axe. Il en découle pour le moment d’inertie d’axe ∆ : IA∆ = M d2G + IG∆ (2.82) Le moment d’inertie d’une barre mince

Etudions le moment d’inertie d’une barre mince par rapport `a un axe perpendiculaire passant par le centre de la barre (fig. 2.64). Δ 0

-L/2

L/2

Fig. 2.64 Moment d’inertie, la barre.

Soit ρ la masse linéique de la barre supposée très mince. Un élément infinitésimal de longueur dl aura alors pour masse : dm = ρ dl. dm est un éP lément infinitésimal de masse assimilable à mα dans la somme discrète I∆ = α mα d2α . Ainsi la contribution dI au moment d’inertie total de l’élément de masse dm situé ` a une distance l de ∆ s’écrit dI = l2 dm = ρ l2 dl Ainsi, I étant la somme de tous les dI s’écrit L/2 Z

I=ρ −L/2

l3 l dl = ρ 3 2

+L/2 = −L/2

o` u L la longueur totale de la barre. Avec ρ = la forme M L2 I= 12 (4)

M L,

Pour une version plus g´ en´ erale voir la section 3.20.

ρL3 12

I peut encore se mettre sous

153

Calculs de moments d’inertie

Le moment d’inertie d’un tube

Etudions le moment d’inertie d’un tube de rayon R, d’épaisseur e R par rapport ` a son axe (fig. 2.65). On choisit les variables suivantes : R le rayon du tube, L sa longueur totale et e son épaisseur (e R, nous verrons l’importance de cette hypothèse plus loin). Le moment d’inertie se calcule à partir d’une somme de petites masses : X I= mα d2α (2.83) α

dq e

Fig. 2.65 Moment d’inertie, le tube.

Nous allons donc « découper » le tube en petits éléments de volumes infinitésimaux dv. Comme l’angle dθ est très petit on peut considérer que ces éléments de volumes sont des parallélépipèdes rectangles de hauteur L, de longueur Rdθ et d’épaisseur e. Ces dv s’écrivent donc dv = R dθ eL

(2.84)

Chacun de ces dv a une masse dm et se trouve à une distance R de l’axe. La formule (2.83) s’écrira donc (la somme devient une intégrale car il y a une infinité d’éléments dv) : Z I=

R2 dm

(2.85)

L’élément de masse dm peut s’exprimer en fonction de dv grâce à la masse volumique : dm = ρ dv (2.86) En comparant l’équation (2.85) avec les équations (2.86) et (2.84), on remarque que l’intégration se fera selon dθ. Les bornes de l’intégrale seront donc 0 et 2π. On écrit donc Z2π Z2π 2 I = R ρR dθeL = ρR3 eL dθ (2.87) 0

d’o` u, finalement, on obtient I = 2πρR3 eL

(2.88)

154

Pratique de la m´ ecanique

Soit M la masse totale du tube. Il nous faut écrire son volume. Comme e est très petit devant R on peut admettre que la section du tube vaut 2πRe, soit la circonférence multipliée par l’épaisseur. Le volume V s’écrit donc V = 2πReL Avec ρ =

M V ,

(2.89)

remplac´e dans l’´equation (2.88), on trouve finalement I = M R2

(2.90)

Moment d’inertie d’un cylindre plein

Etudions le moment d’inertie d’un cylindre plein de rayon R par rapport `a son axe (fig. 2.66).

dq dr

Fig. 2.66 Moment d’inertie, le cylindre.

Le moment d’inertie d’un cylindre (plein) peut facilement être calculé à partir des résultats que l’on vient d’obtenir. En effet un cylindre peut être décomposé en une infinité de petits tubes concentriques (fig. 2.66). Le cylindre est de rayon R. Chaque petit tube a un rayon r, une épaisseur dr et un moment d’inertie dItube calculé de la même manière que pour la partie précédente. On a donc dItube = 2πρr3 drL (2.91) o` u on a utilisé le résultat obtenu en (2.88). Le moment d’inertie total du cylindre s’exprimera donc par Z Icyl =

dItube

(2.92)

et l’int´egration se fera naturellement selon r variant de 0 `a R. Donc ZR Icyl =

2πρr3 drL

(2.93)

1 4 R πLρ 2

(2.94)

ce qui nous donne Icyl =

155

Calculs de moments d’inertie

La masse volumique se calcule à partir de la masse totale et du volume du cylindre : M (2.95) ρ= πR2 L d’o` u après simplification : M R2 Icyl = 2 Remarque. Le calcul direct (sans utiliser la question précédente) se fait facilement en passant par la définition d’un élément de volume en coordonnées cylindrique dv = ρ dθ dρ dz (fig. 2.67). Il faut alors résoudre l’intégrale triple : ZZZ I= ρvol ρ dθ dρ dzρ2 avec ρvol la masse volumique, soit ZR I = ρvol

Z2π

ρ dρ 0

ZL dθ

dz 0

| {z } | {z } | {z } R4 /4

2π

On retrouve bien l’´equation (2.94). z

dz dr

rd q

y dq

Fig. 2.67 Moment d’inertie, élément de volume en coordonnées cylindriques.

Mise en contexte

Quand on tourne sur soi debout, en tenant à la main une roue de vélo (fig. 2.70) ou un solide formé de trois tiges disposées symétriquement (fig. 2.72), on ressent le même effet gyroscopique dans le poignet. Comment représenter la symétrie de cette propriété dynamique ? En quoi dépend-elle de la symétrie de l’objet lui-même ? Ces questions sont traitées à la section 3.20.

156

Pratique de la m´ ecanique

2.21 21.2

Discussion qualitative des effets gyroscopiques

Lorsqu’un objet en rotation rapide autour d’un axe est soumis à une force appliquée, on observe un mouvement de l’axe de rotation perpendiculaire à la force appliquée. On parle d’un effet gyroscopique pour se référer à ce décalage entre la direction de la force et la direction du mouvement. Dans cette section, on s’attache ` a appréhender la description de ces effets en tirant des informations qualitatives des équations de base de la dynamique du solide. Quand une personne sur un tabouret tournant élève une roue en rotation rapide autour de son axe (fig. 2.68), la composante verticale du moment cinétique, qui est nulle au début du mouvement, doit le rester. Il faut donc que la personne se mette ` a tourner en sens inverse de la roue.

19.3

Lz = 0

Fig. 2.68 Une personne, assise sur le tabouret tournant librement autour d’un axe vertical, fait passer une roue en rotation rapide sur elle-mˆeme, de la position o` u la roue est dans un plan vertical a ` celle o` u elle est dans un plan horizontal.

D’o` u vient la force qui fait que le tabouret se mette à tourner ? Examinons le sous-système de la roue [29]. Nous appliquons le théorème du moment cinétique a la roue de vélo. ` Que se passe-t-il quand la roue s’élève d’un angle ∆θ ? D’après le théorème du moment cinétique dLO /dt = M ext O . On a donc : LO (t + dt) − LO (t) = M O dt (fig. 2.69). La variation imposée du moment cinétique détermine M O . Le moment M O peut être représenté par un couple de deux forces F et −F . M O est le moment qu’il faut appliquer ` a la roue pour la faire dévier d’un angle ∆θ. Finalement, pour conclure, nous invoquons la loi d’action et de réaction : pour toutes forces F appliquées ` a la roue, des forces égales et opposées s’appliquent à la personne tenant la roue, c’est-` a-dire que cette personne subit un couple −M O . Lorsque l’axe n’est plus horizontal, c’est la composante verticale de LO (t + dt) − LO (t) qu’il faut considérer.

157

Discussion qualitative des effets gyroscopiques

M0 L0 (t + Δt) -F F

Δθ ΔL0 ω(t)

L0 (t)

Fig. 2.69 Moment cin´etique de la roue ` a t et t + dt.

Quand une personne qui tient une roue en rotation avec un axe horizontal se met ` a tourner sur elle-même, elle remarque qu’elle doit appliquer un moment de force. La roue impose à la personne le moment de force inverse de celui indiqué sur la figure 2.70. C’est dire que si on n’imposait pas ce couple, la roue monterait. Nous adoptons comme convention de toujours représenter dans ce type de dessin le moment de force appliqué au système en rotation. Un dispositif ` a deux roues, lancées en sens inverse l’une de l’autre, permet de faire la différence entre la situation avec et sans moment cinétique (fig. 2.71).

M Mdt

ω, L

Fig. 2.70 Une roue est mise en rotation rapide autour de son axe. Une personne tient la roue a ` bout de bras et se met a ` tourner sur elle-mˆeme. La personne sent qu’elle doit appliquer un moment de force.

Fig. 2.71 Deux roues sont montées sur un même axe. Quand les roues sont en rotation opposées, on ne sent plus d’effet gyroscopique.

Quand une roue est symétrique et tourne autour de son axe de rotation propre, on a vu qu’il faut exercer un moment pour changer l’orientation de l’axe de la roue. Si au lieu d’une roue on a par exemple une barre (fig. 2.72), on observe que le mouvement est saccadé par le fait que le poignet doit exercer un moment qui varie périodiquement. En revanche, si l’objet en rotation a une symétrie d’ordre 3 au moins, alors l’effort sur le poignet est régulier, parce que le tenseur d’inertie a les mêmes symétries que celui d’une roue (sect. 3.20).

158

Pratique de la m´ ecanique

21.3

Fig. 2.72 Sur des poignées munies de roulement a ` billes sont montés une fois deux barres égales, une fois trois barres égales. On observe en manipulant le système a ` deux barres que, sous l’effet de leur rotation propre rapide, un changement d’orientation de l’axe de rotation provoque des mouvements saccadés. Ce n’est pas le cas avec le modèle d’hélice a ` trois barres.

La roue de moto

Considérons une moto avan¸cant à grande vitesse. Quand on force la roue avant pour tourner brusquement à gauche, le moment cinétique change de direction, son accroissement est opposé au sens de la moto. Par conséquent, le moment qu’il faudrait appliquer à la moto pour qu’elle reste droite est dans ce sens-l` a aussi. Mais comme rien n’exerce un tel couple sur la moto, elle opère une rotation dans le sens opposé afin de maintenir le moment cinétique nul dans la direction de la moto. Une autre fa¸con de voir la chose est la suivante (fig. 2.73). Quand on force le guidon brutalement pour tourner à gauche, on applique un moment de force a la roue. Ce moment est vertical, vers le haut. Par conséquent, le moment ` cinétique sous l’effet de ce moment de force va se relever, ce qui correspond à une inclinaison de la moto vers l’extérieur du virage.

MG dt L

Fig. 2.73 Si la roue avant subit le moment M G pendant dt, alors le moment cin´etique de la roue augmente de dLG = M G dt.

159

Discussion qualitative des effets gyroscopiques

La toupie

On prend le point d’appui C de la toupie comme point de référence (fig. 2.74). C’est un point du solide, il est supposé fixe, donc il appartient au référentiel aussi. On ne considère ici que le mouvement de précession du moment cinétique (pas la nutation). Le moment de la pesanteur par rapport à C est horizontal et constant (fig. 2.75). Le moment cinétique de la toupie est essentiellement le long de l’axe de la toupie car la vitesse de rotation propre est supposée élevée. Le changement de moment cinétique est horizontal, de module constant, générant ainsi un mouvement de rotation uniforme du moment cinétique, donc de la toupie.

L (t + ∆t) rG ∧Mg∆t

L (t)

Fig. 2.74 Toupie en position dite « dormante ».

Fig. 2.75 Toupie en pr´ecession uniforme, moment cin´etique a ` deux temps voisins et direction du moment de force r G ∧ M g.

21.3

Fig. 2.76 Une toupie est constituée d’une roue dont la position est réglable sur l’axe de rotation propre. Le point d’appui peut être situé plus bas ou plus haut que le centre de masse. On vérifie que l’argument heuristique ci-dessus suffit a ` prédire le sens de précession de la toupie.

160

Pratique de la m´ ecanique

La toupie est une excellente occasion de réfléchir aux véritables objectifs de la science. En effet, l’expérience commune consiste à se demander « pourquoi la toupie ne tombe-t-elle pas ? ». On voit ici que la question à laquelle la mécanique répond est « comment » plutôt que « pourquoi ». La mécanique fournit des principes réducteurs avec lesquels décrire toute une famille de phénomènes, dont les effets gyroscopiques. Comme le signale Alexandre Koyré à propos de Galilée (sect. 1.1), la mécanique, en tant que science, fournit un langage pour interroger la Nature. L’expérience (le jeu avec les toupies) fait place à l’expérimentation. On peut vérifier qu’on maˆıtrise ce type de raisonnement heuristique en se posant la question du sens de la précession de la roue du montage de la figure 2.76, qui permet de placer le centre de gravité en-dessus ou en-dessous du point d’appui. La toupie glissante

Une toupie en forme de cône de pin est munie de rainures dans lesquelles une ficelle est enroulée (fig. 2.77). La ficelle est attachée à un bâton. Par un mouvement de fouet, la toupie est lancée en rotation rapide sur le sol. Très vite la toupie se redresse et prend la position verticale, dite « dormante ». On montre que le frottement de la toupie glissant sur la table provoque ce redressement.

Fig. 2.77 Toupie lancée par une ficelle enroulée sur elle-même.

On peut appliquer ici la loi dLG /dt = M ext G pour montrer que la force de frottement produit un moment qui tend à redresser la toupie. Le raisonnement se conduit comme suit. On considère, pour fixer les idées, une toupie dont le sens de rotation implique un moment cinétique vers le haut. La force de frottement s’oppose au mouvement du point de contact. Sur la figure 2.78, cela implique une force qui sort de la feuille. Alors le moment associé r ∧ T est dans le plan de la feuille. (r ∧ T ) dt s’ajoute au moment cinétique et tend à le relever. La même conclusion vient si le sens de rotation est inversé. Avec un support en forme de calotte sphérique, l’orientation d’équilibre d’une telle toupie est la verticale. Cette propriété a été utilisée en navigation maritime [30].

161

Discussion qualitative des effets gyroscopiques

(r Ù T )Dt

L (t + Dt)

L (t)

rÙT G r

Fig. 2.78 Force de frottement T qui donne lieu au redressement de la toupie, moment de cette force par rapport a ` G. Toutes les forces de frottement ne sont pas repr´esent´ees.

Meule

Soit d la distance du centre de masse G d’une meule à l’axe vertical de rotation (fig. 2.79). Le roulement sans glissement implique Ωd = ωR. On obtient ce résultat, ou bien par un argument géométrique, ou bien en appliquant les règles de base de la cinématique du solide, de la manière suivante. Soit A le point de contact. Sa vitesse est nulle s’il y a roulement sans glissement. Par conséquent, 0 = v(A) = v(G) + (ω + Ω) ∧ GA = Ω ∧ CG + ω ∧ GA Ω N dLC –––– dt

C ω

eφ

Fig. 2.79 Effet gyroscopique sur une meule, N n’est pas simplement mg !

162

Pratique de la m´ ecanique

La projection donne la relation cherchée. Quand la meule est arrêtée, la force de réaction du sol sur la meule est donnée par N + mg = 0. Quand la meule est en mouvement, le théorème du moment cinétique, avec le point C de la meule pour point de référence, donne dLC = CG ∧ (N + mg) dt La composante horizontale vaut : dLC = I1 ωΩ dt elle correspond ` a l’action du moment de force : d(N − mg). Par conséquent, N est donné par N = mg + (I1 ωΩ)/d. On trouve ainsi que N est plus grand que dans le cas statique. Cet effet gyroscopique est mis à profit dans le broyage de minerais [31]. La boussole gyroscopique

Un gyroscope est monté sur cardan (fig. 2.80). Son centre de gravité est au centre du cardan. Après avoir lancé le gyroscope, on peut le saisir par le support du cardan. On note qu’on peut tourner le support dans tous les sens, le gyroscope pointe toujours dans la même direction.

21.3

Fig. 2.80 Gyroscope sur cardan.

On comprend le comportement du gyroscope sur cardan en appliquant : dLO = M ext O = OG ∧ M g dt On peut prendre pour le point O du référentiel le centre de masse G, qui est immobile grˆ ace ` a la construction du cardan, donc L0 est constant. C’était l’ambition de Foucault de construire un « gyro »-« scope », c’est-à-dire un instrument

Relativit´ e restreinte : simultan´ eit´ e

163

qui permette de voir la rotation de la Terre. Il n’y parvint pas. En revanche, il parvint ` a d´emontrer la rotation de la Terre avec le pendule qui porte son nom (§ 2.16.2 ; de nos jours, il est possible de construire un gyroscope mettant en ´evidence la rotation de la Terre [30], [31]). Misen en contexte

La grandeur qui intervient dans la relation entre la vitesse du centre de masse et la quantité de mouvement du solide est sa masse. La masse est un scalaire. Le lien entre la vitesse angulaire et le moment cinétique est un tenseur. On voit ainsi en mécanique des propriétés physiques qui sont des scalaires, des vecteurs ou des tenseurs. Pour ce familiariser un peu plus avec la notion de propriété tensorielle, on introduit à la section 3.21 le tenseur des contraintes établissant la relation entre le vecteur normal à une surface définie dans le matériau et la force que le matériau exerce en cet endroit sur cette surface.

2.22

Relativité restreinte : simultanéité

Le principe de relativité d’Einstein (§ 1.22.2) peut paraˆıtre simple et même 22.2 naturel. Toutefois, la confrontation des implications de ce principe avec les concepts acquis au travers de notre expérience sensorielle et tactile du monde conduit ` a divers paradoxes apparents. Illustrons cela par l’examen d’un raisonnement simple qui conduit ` a un tel paradoxe. Cet exemple montre combien il est nécessaire de changer des paradigmes cinématiques de fa¸con radicale [32]. Considérons une impulsion lumineuse qui se propage le long d’un axe x, étant partie de l’origine O ` a l’instant t = 0. Considérons un second référentiel, auquel est associé le système d’axes O∗ x∗ y ∗ dont l’axe O∗ y ∗ se déplace à la vitesse v par rapport au système d’axes Oxy. A l’instant t = 0, les origines O∗ et O co¨ıncident (fig. 2.81). y

O* O

x* h

Fig. 2.81 Une impulsion de lumière se propage vers la droite. On en repère la position par la coordonnée x dans le référentiel centré en O, et par la coordonnée x∗ dans le référentiel centré en O∗ , O∗ se dépla¸cant de h pendant que l’impulsion a parcouru x∗ .

164

Pratique de la m´ ecanique

Il est donc tout naturel d’écrire les relations x = x∗ + h x = ct h = vt Par conséquent la vitesse de propagation de cette impulsion lumineuse dans le référentiel O∗ x∗ y ∗ est déclarée comme ayant la valeur : c∗ =

x∗ x−h = =c−v t t

Par conséquent les grandeurs c et c∗ ne sont pas les mêmes. Ce qui est en désaccord avec le principe de relativité et montre qu’il faut que les définitions des grandeurs physiques évoquées soient précisées. Quand nous écrivons x = x∗ +h, nous supposons tacitement que les trois grandeurs x, x∗ et h sont mesurées de la même manière, avec les mêmes étalons de longueur. De manière similaire, nous avons postulé tacitement un temps t, dont la mesure est présumée indépendante du mouvement du référentiel. Pour résoudre ce paradoxe on pourrait convenir soit que les unités de longueurs ne sont pas les mêmes dans le référentiel en mouvement et dans le référentiel o` u l’observateur (qui fait la mesure) est fixe, soit que cette différence se porte sur les unités de temps. Une de ces possibilités ou les deux permettraient de rester en accord avec le postulat de relativité. En fait, la transformation de Lorentz montre que ce sont les deux grandeurs qui changent ! La vitesse dans le référentiel O∗ x∗ y ∗ doit donc être définie comme x∗ (2.96) c = c∗ = ∗ t Dans cet exemple, il y a une autre « subtilité » qui pourrait conduire à des résultats paradoxaux. Dans la détermination de la vitesse c∗ , il est sousentendu que les longueurs x, x∗ et h sont mesurées simultanément. Or dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte, il se trouve que deux événements qui apparaissent simultanés dans un référentiel ne le sont pas nécessairement vus d’un autre ! Dans la définition des grandeurs cinématiques, la relativité de la simultanéité peut donc conduire à des erreurs de raisonnement, tant on est habitué ` a raisonner en attribuant à la simultanéité un caractère absolu. Simultanéité

A. Einstein met en évidence le caractère relatif de la simultanéité à l’aide du paradoxe du train qui arrive en gare. Deux éclairs lumineux éclatent à l’avant et ` a l’arrière du train, laissant des marques sur le train et sur les rails (fig. 2.82). Si l’on considère ces deux éclatements comme simultanés pour les passagers du train comme pour les personnes qui se tiennent sur le quai, alors : 1) Un observateur qui se tient sur le quai, à mi-distance des deux marques sur les rails, per¸coit les deux éclairs lumineux au même moment. 2) Un observateur sur le train, en son milieu, per¸coit de même les deux éclairs en même temps.

Relativit´ e restreinte : simultan´ eit´ e

165

3) En revanche, l’observateur sur le quai estime que l’observateur sur le train, en son milieu, per¸coit l’éclair produit à l’avant avant l’éclair produit à l’arrière.

Fig. 2.82 L’arriv´ee en gare d’un train provoque des impulsions lumineuses. L’observateur sur le quai estime qu’elles sont simultan´ees pour lui, mais pas pour le passager au milieu du train !

Il semble qu’il y a contradiction ! Le principe de relativité déclare que les deux référentiels sont équivalents. Par conséquent, il faut conclure que la simultanéité est relative. H. Poincaré avait également constaté cette difficulté [84]. Le fameux article de 1905 [87] définit une procédure expérimentale basée sur la propagation d’impulsions lumineuses pour donner une définition précise de la synchronisation des horloges. Cet article cherche alors la loi de transformation des coordonnées entre deux référentiels en translation uniforme qui satisfait aux deux postulats que sont le principe de relativité et l’invariance de la vitesse de la lumière. La démarche aboutit aux transformations établies par H. A. Lorentz dans le cadre de l’électromagnétisme. C’est donc un immense succès. En reformulant les bases de la cinématique, il devient possible de réconcilier les changements de référentiels en électromagnétisme et en mécanique. Il faut noter avec Wheeler [12, sect. 5.6] que le temps de propagation de l’information n’est pas la clé qui brise le concept de la simultanéité absolue. Wheeler nous invite ` a imaginer des événements enregistrés par rapport à des référentiels d’inertie en translation uniforme les uns par rapport aux autres, à chaque référentiel étant associée une horloge ; les horloges sont synchronisées entre elles. Les événements sont alors enregistrés localement, puis les enregistrements sont comparés ultérieurement. Mise en contexte

La découverte de la théorie de la relativité remonte environ à trois générations de scientifiques seulement (sect. 3.22). Un vif débat s’est engagé récemment autour de la question de la contribution de Poincaré et certains vont même jusqu’` a mettre en doute le fait qu’Einstein soit l’auteur de l’article de 1905 sur l’électrodynamique des corps en mouvement !

166

Pratique de la m´ ecanique

2.23 23.2

Dilatation du temps, contraction des longueurs

L’horloge `a impulsions lumineuses

Pour rendre plausible les nouveaux concepts cinématiques de la relativité restreinte, on considère un laboratoire auquel est attaché un référentiel d’inertie R et une fusée en mouvement uniforme par rapport à ce référentiel R à laquelle est attaché un référentiel R0 . Soient deux événements, notés A et B, associés chacun ` a un lieu et un instant (fig. 2.83) : •

•

A : émission d’un éclair lumineux depuis la fusée. A l’endroit o` u a lieu cette émission, l’horloge du référentiel R du laboratoire et l’horloge du référentiel R0 de la fusée indiquent chacune, par convention, une valeur fixée à 0. De la fusée, on observe la propagation de l’éclair lumineux vers un miroir attaché ` a la fusée puis la réflexion de cet éclair par ce dernier miroir. Ce miroir, immobile relativement au référentiel R0 attaché à la fusée, est orienté parallèlement au mouvement de la fusée, à trois mètres dans la direction perpendiculaire ` a la vitesse de cette dernière par rapport au référentiel du laboratoire R. B : Réception par la fusée de l’éclair lumineux réfléchi, à l’endroit de la fusée, d’o` u cet éclair fut émis.

Calculons la distance spatiale et la durée temporelle qui sépare ces deux événements dans chacun des référentiels R et R0 . Dans le référentiel R0 attaché ` a la fusée. Si la fusée et le miroir sont séparés par une distance de 3 m, la longueur du trajet aller et retour de l’éclair lumineux vaut 6 m. La durée du trajet aller et retour de l’éclair lumineux est donc ∆t0 = 6 mètres/c. Dans le référentiel R attaché au laboratoire. On suppose que la fusée se déplace avec une vitesse telle que durant le temps ∆t d’aller-retour de l’éclair lumineux, la fusée parcourt la distance ∆x = 8 m. Dans le référentiel du laboratoire toujours, le trajet de la lumière présente la forme décrite par la figure 2.83. La longueur totale de ce trajet est de 5 mètres + 5 mètres = 10 mètres. Donc c ∆t = 10 mètres relativement au référentiel du laboratoire.

ct vt

Fig. 2.83 Trajectoire du faisceau lumineux de l’horloge optique relativement au r´ef´erentiel du laboratoire.

On note donc que la durée de parcours de l’éclair lumineux est plus longue lorsqu’elle est observée du référentiel R du laboratoire dans lequel la fusée est en mouvement que lorsqu’elle est observée de la fusée.

Dilatation du temps, contraction des longueurs

167

Si on s’en réfère ` a l’horloge constituée de deux miroirs parallèles entre lesquels une impulsion lumineuse est réfléchie, on constate qu’un « battement » de l’horloge présente une durée plus grande lorsque l’horloge est observée en mouvement. D’un point de vue de la théorie de la relativité, on déclare parfois que les horloges en mouvement « fonctionnent plus lentement » que celles qui sont immobiles. On évoque aussi l’image de la « dilatation du temps ». Ces différences qui concernent l’écoulement du temps ont-elles été observées ? Absolument ! L’exemple le plus probant est celui des particules élémentaires dont la durée de vie est très courte à notre échelle. Lors des expériences dans lesquelles entrent en jeu des accélérateurs de particules chargées, ces dernières sont observées durant des temps qui peuvent largement excéder leur durée de vie observée dans le référentiel dans lequel elles sont au repos. Le langage utilisé pour décrire ce phénomène fait qu’on peut en arriver à se demander si quelque chose change vraiment dans la structure et le fonctionnement des horloges qui fait qu’elles « avancent » plus lentement quand elles bougent que lorsqu’elles sont ` a l’arrêt. Ce n’est pas du tout le cas ! Dépla¸cons-nous avec une horloge. Observons-la. Changeons notre vitesse avec de faibles accélérations. Est-ce que cela change quelque chose ` a l’horloge ? Non ! C’est donc seulement par le fait de conventions « a priori » qu’on est conduit à de telles conclusions au sujet de cette différence de temps. Exemple 2.19 Désintégration du mu-méson Le temps moyen après lequel se désintègre un mu-méson qui vient d’être créé au repos est τ = 2,2 × 10−6 s. Or, les circonstances dans lesquelles ces particules sont observées font qu’elles se déplacent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Pendant leur durée de vie, elles parcourent donc une distance cτ = 3 × 108 m/s × 2,2 × 10−6 s = 600 m. Or la Terre re¸coit des rayons cosmiques qui par collision produisent des mu-mésons dans les couches supérieures de l’atmosphère. Certains de ces mu-mésons parviennent au sol, donc ils parcourent environ 10 km. Considérons deux événements qui ont lieu au même endroit par rapport à un référentiel donné. Vu de ce référentiel la durée qui sépare ces deux événements vaut τ , cette valeur se référant par conséquent à une horloge associée à ce dernier référentiel. La durée t de cette séparation dans le temps, observée dans tout référentiel en translation ` a la vitesse v par rapport au référentiel initial o` u ces deux événements ont lieu au même endroit, est liée à la grandeur τ par la loi d’invariance de l’intervalle, c2 τ 2 = c2 t2 − v 2 t2 , qui implique la relation : t= p

τ 1 − v 2 /c2

(2.97)

Le temps propre est le temps écoulé entre deux événements observés du référentiel par rapport auquel ces deux événements ont lieu au même endroit.

168

Pratique de la m´ ecanique

Intéressons-nous maintenant à la mesure de la longueur d’un barreau en déplacement ` a la vitesse v dans le référentiel à partir duquel on l’observe. Vu la complexité de la cinématique relativiste, en particulier vu le fait que deux événements simultanés par rapport à un référentiel ne le sont pas vu d’un autre référentiel animé d’une vitesse non nulle par rapport au premier, il est indispensable de définir clairement ce que l’on entend par la longueur d’un barreau en mouvement. Il doit s’agir d’une définition qui fixe clairement la procédure ` a suivre même si la mesure n’est que virtuelle. La définition de la longueur, et donc la procédure à suivre pour en déterminer la valeur, est rendue significative à l’aide de l’image suivante (fig. 2.84). Une fusée se déplace avec une vitesse v le long d’un barreau de longueur L immobile dans le référentiel R du laboratoire. Dans ce référentiel R les extrémités du barreau occupent des postions de coordonnées a et b. On considère alors les deux événements que voici : Evénement A : la fusée passe au point de coordonnée a Evénement B : la fusée passe au point de coordonnée b v un barreau a

Fig. 2.84 Mesure de la longueur d’un barreau au repos dans le laboratoire faite par un observateur dans la fus´ee qui lui se d´eplace a ` la vitesse v par rapport au laboratoire.

Relativement au référentiel R0 attaché à la fusée, les événements A et B ont lieu au même endroit, donc le temps écoulé entre ces deux événements est un temps propre τ . Par rapport au référentiel R0 attaché à la fusée, le barreau se déplace avec une vitesse −v. Il faut donc attendre un temps τ pour voir passer successivement l’une puis l’autre des extrémités du barreau. On appellera donc longueur du barreau en mouvement à la vitesse v la grandeur L0 = vτ . Dans le référentiel du laboratoire R, la durée ∆t de l’intervalle de temps entre les deux événements A et B vaut ∆t = Lv et la distance spatiale qui les séparent a pour valeur ∆x = L. L’invariance de l’intervalle permet alors d’écrire la relation : r 1p 2 1 L2 2 2 τ= c (∆t) − (∆x) = c2 2 − L2 c c v r r 2 2 L c L v = −1= 1− c v2 v c Par conséquent la longueur du barreau, observée depuis la fusée, a pour valeur r v 2 0 L = vτ = L 1 − (2.98) c Un barreau est mesuré plus court (« contracté ») quand il est observé d’un référentiel dans lequel il est en mouvement. Il faut toutefois ne pas perdre de vue le sens exact de la définition de la mesure de cette longueur.

169

Dilatation du temps, contraction des longueurs

Remarque. L’expression « contraction des longueurs » suggère qu’un objet en mouvement a l’air contracté dans la direction du mouvement si l’on s’en réfère ` a la mesure. Mais que verrait-on avec nos yeux ? Le physicien Gamov a abordé cette question dans un traité de vulgarisation dans lequel il a tenté d’expliquer la relativité au grand public. Il y décrit un monde o` u la vitesse de la lumière est de 15 km/heure. Un cycliste paraˆıt aplati [33], [34]. Il a fallu attendre des années pour échapper ` a cette conception erronée ! Le professeur Weisskopf, qui allait devenir directeur du CERN, prit la peine, au début des années 1960, de clarifier cette question des apparences dans la revue de la société américaine de physique Physics Today [35]. Selon la cinématique newtonienne, un objet qui vient vers soi sous un angle aigu a l’air allongé. La cinématique relativiste postule qu’une sphère est, au contraire, vue comme une sphère mais tournée, si bien que l’on voit une partie de l’arrière de cette dernière ! Dans ces exemples de cinématique relativiste relatifs à la contraction des longueurs et la dilatation du temps, on voit l’importance qu’il y a à raisonner sur la base d’événements caractérisés par une (ou des) coordonnée(s) spatiale(s) et par un temps. Cette manière de décrire les événements se réfère à la notion d’espace-temps. La notion de mesure d’un intervalle d’espace-temps (déj` a introduite précédemment) doit donc être interprétée comme une notion de « distance », soit spatiale soit temporelle, entre deux événements. 2.23.1

Application des transformations de Lorentz

Contraction des longueurs

Comme il se doit et comme on peut le constater aisément, les transformations de Lorentz impliquent la contraction des longueurs et la dilatation du temps. Pour le montrer considérons pour commencer une règle immobile par rapport ` a un référentiel R0 et placée sur l’axe x0 de telle sorte que ses extrémités co¨ıncident avec les points de coordonnées x0 = 0 et x0 = L0 (fig. 2.85). Quelle est la longueur de la règle, ` a un instant donné t, par rapport au référentiel R de coordonnées Oxyz ? De la relation x0 = p z

x − vt 1 − v 2 /c2 z'

v y'

x' L0

Fig. 2.85 Mesure de la longueur d’un barreau au repos dans un r´ef´erentiel.

170

Pratique de la m´ ecanique

on extrait l’expression r

v2 + vt c2 Par conséquent, relativement au référentiel R, les extrémités de la règle sont à l’instant t situées aux points de coordonnées x=x

1−

x(origine de la règle) = 0 + vt r v2 x(fin de la règle) = L0 1 − 2 + vt c Ainsi, ` a l’instant t, la longueur de la règle observée du référentiel R a pour valeur : r v2 L = x(fin règle) − x(origine de la règle) = L0 1 − 2 c Dilatation du temps

On considère deux battements successifs d’une horloge du référentiel R0 associé aux coordonnées Ox0 y 0 z 0 et t0 . Ces battements ont lieu aux instants t0 = 0 et t0 = τ au point x0 = 0 (fig. 2.86). Il faut utiliser ici la loi de transformation de la coordonnée d’espace et la loi de transformation de la coordonnée temps. Au premier battement de l’horloge, on a t0 − (v/c2 )x 0= p 1 − v 2 /c2

x − vt0 0= p 1 − v 2 /c2

On en conclut que t0 = 0 et x = 0. Au deuxi`eme battement, on a t1 − (v/c2 )x τ= p 1 − v 2 /c2 Par cons´equent :

x − vt1 0= p 1 − v 2 /c2

t1 − (v/c2 )vt1 τ= p 1 − v 2 /c2

ce qui permet de conclure que t1 = p z

τ 1 − v 2 /c2 z' v

x' horloge à x' = 0

Fig. 2.86 Mesure d’un temps défini par une horloge au repos dans un référentiel.

Le photon

171

Mise en contexte

A-t-on des vérifications expérimentales de ces effets ? Bien sˆ ur ! Il en existe de nombreuses. La section 3.23 relate une expérience, connue comme « l’effet M¨ ossbauer ».

2.24

Le photon

La théorie de la relativité restreinte permet d’envisager l’existence de parti- 24.2 cules de masse nulle mais d’énergie non nulle. Dans la formule (1.89) qui fournit l’énergie d’une particule libre de masse m animée d’une vitesse v, on peut faire tendre kvk vers c et la masse m vers zéro, tout en gardant le rapport mc2 p

1 − v 2 /c2

constant, égal à l’énergie E

On peut également parvenir aisément au même résultat à l’aide de la condition de masse (1.85) en y posant m = 0. La relation entre la quantité de mouvement et l’énergie devient simplement : E = c |p| Des particules de masse nulle existent, par exemple le neutrino et l’antineutrino. Ces particules de masse nulle ont été observées indirectement, puis plus récemment de manière directe, par exemple dans les constituants de la désintégration du neutron en trois particules que sont le proton, l’électron et l’antineutrino : n −→ p + e− + ν Voici un autre exemple. Au tout début du xxe siècle, pour expliquer le spectre du rayonnement dit du corps noir , Max Planck formula l’hypothèse que ce rayonnement électromagnétique était soumis à la condition que les ondes de fréquence ν étaient constituées d’entités d’énergie E = hν = ~ω

(2.99)

relation dans laquelle le symbole h désigne une constante appelée constante de Planck . A ces entités il donna le nom de quanta. Plus tard Einstein émit de plus l’hypothèse que ces quanta devaient être assimilés à des particules se mouvant ` a la vitesse de la lumière, donc à des particules de masse nulle et de quantité de mouvement E hν |p| = = (2.100) c c Cette particule de masse nulle fut appelée photon. Ces notions prendront un sens plus précis dans le cadre d’une introduction à la physique quantique. Il faut voir la notion de photon comme un modèle. En tant que tel, il permet de

172

Pratique de la m´ ecanique

décrire convenablement certaines expériences. C’est le cas de la collision entre un rayonnement électromagnétique de haute énergie et des particules chargées, typiquement l’électron (effet Compton). Il est possible d’observer notamment la diffusion en arri` ere d’un photon entrant en collision avec un électron au repos. Pour analyser cette collision, on trace les quantités de mouvement des deux « particules » avant et après la collision (fig. 2.87). L’électron a une masse m. Comme il est au repos, sa quantité de mouvement (quadri-vectorielle) a une composante énergie seulement Eeinit = mc2 . Le photon incident a, quant −

init init

a lui, une quantité de mouvement pphoton et une énergie Ephoton ` = c pinit photon . Désignons par les symboles q 2 fin fin p e− et Ee− = c pfin + m2 c2 (2.101) e− la quantité de mouvement et l’énergie de recul de

l’´electron. Enfin d´esignons fin

pfin

par les symboles pfin et E = c e de mouvement photon photon photon la quantit´ et l’énergie du photon diffusé en arrière. La conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie se traduit par les deux équations fin init pfin e− + pphoton = pphoton q

init

2 2

c pfin + m2 c2 + c pfin e− photon = mc + c pphoton

(2.102)

cPe mc2 Ee Ei Ef cpi

cpf

cpi

Fig. 2.87 Analyse d’une collision entre un photon et une particule initialement au repos, de masse m. Le photon est supposé rétrodiffusé. La conservation de la quantité de mouvement quadri-vecteur impose des contraintes sur l’état final.

L’état final peut être obtenu en résolvant ce système de deux équations fin pour les grandeurs pfin e de mouvement de recul e− et pphoton que sont la quantit´ de l’électron et la quantité de mouvement du photon diffusé. Supposons que la quantité de mouvement du photon incident soit positive. Alors, après quelques manipulations formelles élémentaires : pfin photon = − pfin e−

mcpin photon mc + 2pin photon

mc + pin photon mc + 2pin photon

pin photon

(2.103)